跳到主要内容

埼玉大学 理工学研究科 数理電子情報系専攻 数学コース 2020年8月実施 C

标签：

Author​

祭音Myyura (Based on Miyake's answer refined with GPT 6 Astra)

Description​

P(x),Q(x)P(x),Q(x) を既知の連続関数とし、微分方程式

y′′(x)+P(x)y′(x)+Q(x)y(x)=0y''(x)+P(x)y'(x)+Q(x)y(x)=0

を考える。y1,y2y_1,y_2 を一次独立な解として、

W[y1,y2](x)=det⁡(y1(x)y1′(x)y2(x)y2′(x))W[y_1,y_2](x)=\det\begin{pmatrix}y_1(x)&y_1'(x)\\y_2(x)&y_2'(x)\end{pmatrix}

とおく。

  1. ddxW[y1,y2](x)=−P(x)W[y1,y2](x)\frac d{dx}W[y_1,y_2](x)=-P(x)W[y_1,y_2](x) を示せ。
  2. y3,y4y_3,y_4 を y1,y2y_1,y_2 と異なる一次独立な解としたとき、W[y1,y2](x)W[y_1,y_2](x) と W[y3,y4](x)W[y_3,y_4](x) の比が xx に依らないことを示せ。

题目描述​

设 P,QP,Q 连续，y1,y2y_1,y_2 是方程 y′′+Py′+Qy=0y''+Py'+Qy=0 的两个线性无关解，以题面行列式定义 Wronskian。

  1. 证明 W′=−PWW'=-PW。
  2. 另取一组线性无关解 y3,y4y_3,y_4，证明两组解的 Wronskian 之比不依赖于 xx。

Kai​

(1)​

各解の微分方程式を用いると、

W′=y1y2′′−y1′′y2=y1(−Py2′−Qy2)−(−Py1′−Qy1)y2=−P(y1y2′−y1′y2)=−PW.\begin{aligned} W'&=y_1y_2''-y_1''y_2\\ &=y_1(-Py_2'-Qy_2)-(-Py_1'-Qy_1)y_2\\ &=-P(y_1y_2'-y_1'y_2)=\boxed{-PW}. \end{aligned}

(2)​

係数が連続な区間 II 上で x0∈Ix_0\in I を固定する。(1) より、どの解対についても

W(x)=W(x0)exp⁡(−∫x0xP(t) dt).W(x)=W(x_0)\exp\left(-\int_{x_0}^xP(t)\,dt\right).

一次独立な解対の W(x0)W(x_0) は非零である。もし零なら、ある非自明な線形結合が x0x_0 で値と導関数をともに零とし、初期値問題の一意性によって恒等的に零となり、一次独立性に反する。

したがって、

W[y1,y2](x)W[y3,y4](x)=W[y1,y2](x0)W[y3,y4](x0)\boxed{\frac{W[y_1,y_2](x)}{W[y_3,y_4](x)} =\frac{W[y_1,y_2](x_0)}{W[y_3,y_4](x_0)}}

は xx に依らない。

Reference​

本页目录