埼玉大学 理工学研究科 数理電子情報系専攻 情報システム工学コース 2019年8月実施 微分積分

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思齐塾, 祭音Myyura

Description

2. 以下の問に答えよ。[ Solve the following problems. ]

(a). 次の極限値を求めよ。[ Find the following limit. ]

$$\lim_{x \to 0} \frac{x - \sin x}{x - \tan x}$$

(b). 次の関数のマクローリン展開を $x^4$ の項まで求めよ。[ Find the Maclaurin expansion of the following function up to the term of $x^4$ . ]

$$f(x) = e^x \cos x$$

(c). 次の定積分を求めよ。[ Find the following definite integral. ]

$$\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{1 + \cos x} dx$$

(d). 次の2重積分の値を求めよ。[ Evaluate the following double integral. ]

$$\iint_D x^2 y \ dxdy, \ D = \{ 0 \le x \le a, 0 \le y \le b \}$$

题目描述

2. 回答下列问题。

(a) 求极限

$$\lim_{x\to0}\frac{x-\sin x}{x-\tan x}.$$

(b) 将函数

$$f(x)=e^x\cos x$$

作 Maclaurin 展开，写到 $x^4$ 项为止。

(c) 计算定积分

$$\int_0^{\pi/2}\frac{1}{1+\cos x}\,dx.$$

(d) 计算二重积分

$$\iint_D x^2y\,dx\,dy,$$

其中

$$D=\left\{(x,y)\,\middle|\, 0\leq x\leq a,\; 0\leq y\leq b \right\}.$$

Kai

2.

(a)

$x=0$ のまわりで

$$\sin x=x-\frac{x^3}{6}+O(x^5),\qquad \tan x=x+\frac{x^3}{3}+O(x^5)$$

であるから、

$$\lim_{x\to0}\frac{x-\sin x}{x-\tan x} =\frac{1/6}{-1/3}=\boxed{-\frac12}.$$

(b)

$$e^x=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+\frac{x^4}{24}+O(x^5),\qquad \cos x=1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}+O(x^6).$$

これらを掛け合わせると

$$\boxed{e^x\cos x=1+x-\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{6}+O(x^5)}.$$

したがって $x^2$ の係数は $0$ である。

(c)

半角公式 $1+\cos x=2\cos^2(x/2)$ より、

$$\int_0^{\pi/2}\frac{dx}{1+\cos x} =\int_0^{\pi/2}\frac12\sec^2\frac{x}{2}\,dx =\left[\tan\frac{x}{2}\right]_0^{\pi/2} =\boxed{1}.$$

(d)

$a,b\geq0$ のとき、積分領域が長方形なので積分は積に分離できる。

$$\iint_Dx^2y\,dx\,dy =\left(\int_0^a x^2\,dx\right)\left(\int_0^b y\,dy\right) =\frac{a^3}{3}\frac{b^2}{2} =\boxed{\frac{a^3b^2}{6}}.$$

$a<0$ または $b<0$ のときは $D=\varnothing$ なので、積分値は $0$ である。