埼玉大学 理工学研究科 数理電子情報系専攻 情報システム工学コース 2019年2月実施 微积分

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Author

思齐塾, 祭音Myyura

Description

2. 以下の問に答えよ。[ Solve the following problems. ]

(a). 次の極限値を求めよ。[ Find the following limit. ]

$$\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x + 4} - 2}{x}$$

(b). 次の関数のマクローリン展開を $x^6$ の項まで求めよ。[ Find the Maclaurin expansion of the following function up to the term of $x^6$ . ]

$$f(x) = x \sin x$$

(c). 次の定積分を求めよ。[ Find the following definite integral. ]

$$\int_0^1 \sqrt{\frac{x}{1 - x}} dx$$

(d). 次の2重積分の値を求めよ。[ Evaluate the following double integral. ]

$$\iint_D (x^2 + 8y) \ dxdy, D = \{ 1 \le x \le 2, 2 - x \le y \le x^2 \}$$

题目描述

2. 回答下列问题。

(a) 求极限

$$\lim_{x\to0}\frac{\sqrt{x+4}-2}{x}.$$

(b) 将函数

$$f(x)=x\sin x$$

作 Maclaurin 展开，写到 $x^6$ 项为止。

(c) 计算定积分

$$\int_0^1\sqrt{\frac{x}{1-x}}\,dx.$$

(d) 计算二重积分

$$\iint_D(x^2+8y)\,dx\,dy,$$

其中

$$D=\left\{(x,y)\,\middle|\, 1\leq x\leq2,\; 2-x\leq y\leq x^2 \right\}.$$

Kai

2.

(a)

分子を有理化すると

$$\frac{\sqrt{x+4}-2}{x} =\frac{1}{\sqrt{x+4}+2}\quad(x\ne0).$$

よって

$$\boxed{\lim_{x\to0}\frac{\sqrt{x+4}-2}{x}=\frac14}.$$

(b)

$$\sin x=x-\frac{x^3}{6}+\frac{x^5}{120}+O(x^7)$$

より、

$$\boxed{x\sin x=x^2-\frac{x^4}{6}+\frac{x^6}{120}+O(x^8)}.$$

(c)

$x=\sin^2\theta$ （ $0\leq\theta\leq\pi/2$ ）とおくと、

$$dx=2\sin\theta\cos\theta\,d\theta,\qquad \sqrt{\frac{x}{1-x}}=\tan\theta.$$

したがって

$$\int_0^1\sqrt{\frac{x}{1-x}}\,dx =2\int_0^{\pi/2}\sin^2\theta\,d\theta =\boxed{\frac{\pi}{2}}.$$

(d)

$$\begin{aligned} \iint_D(x^2+8y)\,dx\,dy &=\int_1^2\int_{2-x}^{x^2}(x^2+8y)\,dy\,dx\\ &=\int_1^2\left(5x^4+x^3-6x^2+16x-16\right)dx\\ &=\left[x^5+\frac{x^4}{4}-2x^3+8x^2-16x\right]_1^2\\ &=20-\left(-\frac{35}{4}\right) =\boxed{\frac{115}{4}}. \end{aligned}$$