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埼玉大学 理工学研究科 物質科学専攻 物理学プログラム 2021年9月実施 物理学II 問題1

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Author​

祭音Myyura (Based on miyake's answer refined with GPT 6 Astra)

Description​

22 つの規格化された状態 ∣+⟩,∣−⟩|+\rangle,|-\rangle をもつ量子力学系を考える。これらの状態は、ハミルトニアン H^0\hat H_0 の同じ固有値 E0E_0 の固有状態であり、

H^0∣+⟩=E0∣+⟩,H^0∣−⟩=E0∣−⟩(1)\begin{aligned} \hat H_0|+\rangle&=E_0|+\rangle,\\ \hat H_0|-\rangle&=E_0|-\rangle \end{aligned}\tag{1}

を満たす。また、これらの状態は、あるエルミート演算子 Q^\hat Q の固有状態でもあり、

Q^∣+⟩=+∣+⟩,Q^∣−⟩=−∣−⟩(2)\hat Q|+\rangle=+|+\rangle,\quad \hat Q|-\rangle=-|-\rangle\tag{2}

のように、その固有値で 22 つの状態が区別される。以下の問では、この 22 つの状態以外の状態を考慮する必要はないものとする。

問1 ∣+⟩|+\rangle と ∣−⟩|-\rangle が直交すること ⟨−∣+⟩=0\langle-|+\rangle=0 を示せ。

次に、摂動 H^1\hat H_1 を加えた新しいハミルトニアン

H^=H^0+H^1(3)\hat H=\hat H_0+\hat H_1\tag{3}

をもつ量子力学系を考える。∣+⟩,∣−⟩|+\rangle,|-\rangle に対する摂動の作用は、

H^1∣+⟩=Δ∣−⟩,H^1∣−⟩=Δ∣+⟩(4)\hat H_1|+\rangle=\Delta|-\rangle,\quad \hat H_1|-\rangle=\Delta|+\rangle\tag{4}

によって与えられる。ここで、Δ\Delta は正の実数である。

問2 演算子 Q^\hat Q とハミルトニアン H^\hat H が交換しないこと H^Q^≠Q^H^\hat H\hat Q\ne\hat Q\hat H を示せ。また、このことが何を意味するかを簡単に述べよ。

問3 H^\hat H の固有値 E1,E2 (E1<E2)E_1,E_2\ (E_1<E_2) を求め、それぞれの固有値に対応する規格化された固有状態 ∣1⟩,∣2⟩|1\rangle,|2\rangle を ∣+⟩,∣−⟩|+\rangle,|-\rangle を使って表せ。

問4 時刻 tt における系の状態を ∣ψ(t)⟩|\psi(t)\rangle とすると、∣ψ(t)⟩|\psi(t)\rangle はシュレーディンガー方程式

iℏddt∣ψ(t)⟩=H^∣ψ(t)⟩(5)i\hbar\frac d{dt}|\psi(t)\rangle=\hat H|\psi(t)\rangle\tag{5}

を満たす。∣ψ(t)⟩|\psi(t)\rangle を、∣1⟩,∣2⟩|1\rangle,|2\rangle の線形結合の形

∣ψ(t)⟩=c1(t)∣1⟩+c2(t)∣2⟩(6)|\psi(t)\rangle=c_1(t)|1\rangle+c_2(t)|2\rangle\tag{6}

で表すとき、係数関数 c1(t),c2(t)c_1(t),c_2(t) を求めよ。ただし、時刻 t=0t=0 における初期状態を、

∣ψ(0)⟩=a∣1⟩+b∣2⟩(7)|\psi(0)\rangle=a|1\rangle+b|2\rangle\tag{7}

（a,ba,b は複素定数）とする。

問5 時刻 t=0t=0 における初期状態が ∣ψ(0)⟩=∣+⟩|\psi(0)\rangle=|+\rangle の場合に、∣ψ(t)⟩|\psi(t)\rangle を ∣+⟩|+\rangle と ∣−⟩|-\rangle の線形結合として表わせ。

問6 問5の場合に、時刻 tt で状態が ∣+⟩|+\rangle にある確率 P+(t)P_+(t) を求めよ。

問7 問5の場合に、時刻 tt における演算子 Q^\hat Q の期待値 ⟨ψ(t)∣Q^∣ψ(t)⟩\langle\psi(t)|\hat Q|\psi(t)\rangle を求めよ。

题目描述​

考虑具有两个归一化状态 ∣+⟩,∣−⟩|+\rangle,|-\rangle 的量子力学系统。这两个状态都是哈密顿量 H^0\hat H_0 对应于同一本征值 E0E_0 的本征态，满足

H^0∣+⟩=E0∣+⟩,H^0∣−⟩=E0∣−⟩.(1)\begin{aligned} \hat H_0|+\rangle&=E_0|+\rangle,\\ \hat H_0|-\rangle&=E_0|-\rangle. \end{aligned}\tag{1}

它们也都是某个厄米算符 Q^\hat Q 的本征态，且可由本征值区分：

Q^∣+⟩=+∣+⟩,Q^∣−⟩=−∣−⟩.(2)\hat Q|+\rangle=+|+\rangle,\quad \hat Q|-\rangle=-|-\rangle.\tag{2}

以下各问无须考虑这两个状态以外的状态。

问1 证明 ∣+⟩|+\rangle 和 ∣−⟩|-\rangle 正交，即 ⟨−∣+⟩=0\langle-|+\rangle=0。

接着，考虑加入扰动 H^1\hat H_1 后具有新哈密顿量

H^=H^0+H^1(3)\hat H=\hat H_0+\hat H_1\tag{3}

的系统。扰动对 ∣+⟩,∣−⟩|+\rangle,|-\rangle 的作用为

H^1∣+⟩=Δ∣−⟩,H^1∣−⟩=Δ∣+⟩,(4)\hat H_1|+\rangle=\Delta|-\rangle,\quad \hat H_1|-\rangle=\Delta|+\rangle,\tag{4}

其中 Δ\Delta 是正实数。

问2 证明算符 Q^\hat Q 与哈密顿量 H^\hat H 不对易，即 H^Q^≠Q^H^\hat H\hat Q\ne\hat Q\hat H，并简述其含义。

问3 求 H^\hat H 的本征值 E1,E2 (E1<E2)E_1,E_2\ (E_1<E_2)，并用 ∣+⟩,∣−⟩|+\rangle,|-\rangle 表示各自对应的归一化本征态 ∣1⟩,∣2⟩|1\rangle,|2\rangle。

问4 设系统在时刻 tt 的状态为 ∣ψ(t)⟩|\psi(t)\rangle，满足薛定谔方程

iℏddt∣ψ(t)⟩=H^∣ψ(t)⟩.(5)i\hbar\frac d{dt}|\psi(t)\rangle=\hat H|\psi(t)\rangle.\tag{5}

将其表示为 ∣1⟩,∣2⟩|1\rangle,|2\rangle 的线性组合

∣ψ(t)⟩=c1(t)∣1⟩+c2(t)∣2⟩,(6)|\psi(t)\rangle=c_1(t)|1\rangle+c_2(t)|2\rangle,\tag{6}

求系数函数 c1(t),c2(t)c_1(t),c_2(t)。初态为

∣ψ(0)⟩=a∣1⟩+b∣2⟩,(7)|\psi(0)\rangle=a|1\rangle+b|2\rangle,\tag{7}

其中 a,ba,b 为复常数。

问5 若初态为 ∣ψ(0)⟩=∣+⟩|\psi(0)\rangle=|+\rangle，将 ∣ψ(t)⟩|\psi(t)\rangle 表示为 ∣+⟩,∣−⟩|+\rangle,|-\rangle 的线性组合。

问6 在问5的情形下，求时刻 tt 处于 ∣+⟩|+\rangle 态的概率 P+(t)P_+(t)。

问7 在问5的情形下，求时刻 tt 算符 Q^\hat Q 的期望值 ⟨ψ(t)∣Q^∣ψ(t)⟩\langle\psi(t)|\hat Q|\psi(t)\rangle。

Kai​

問1​

Q^\hat Q のエルミート性から

⟨−∣Q^∣+⟩=⟨−∣+⟩=−⟨−∣+⟩.\langle-|\hat Q|+\rangle=\langle-|+\rangle =-\langle-|+\rangle.

よって ⟨−∣+⟩=0\boxed{\langle-|+\rangle=0}。

問2​

H^Q^∣+⟩=E0∣+⟩+Δ∣−⟩,Q^H^∣+⟩=E0∣+⟩−Δ∣−⟩.\begin{gathered} \hat H\hat Q|+\rangle=E_0|+\rangle+\Delta|-\rangle,\\ \hat Q\hat H|+\rangle=E_0|+\rangle-\Delta|-\rangle. \end{gathered}

差は 2Δ∣−⟩≠02\Delta|-\rangle\ne0 なので、[H^,Q^]≠0\boxed{[\hat H,\hat Q]\ne0}。この二状態系では、QQ の固有状態 ∣+⟩,∣−⟩|+\rangle,|-\rangle はいずれも H^\hat H の固有状態でないため、エネルギーと QQ を同時に確定する共通固有状態は存在しない。また、QQ は一般に時間発展で保存されない。

問3​

正規直交基底 (∣+⟩,∣−⟩)(|+\rangle,|-\rangle) で

H=(E0ΔΔE0),det⁡(H−EI)=(E0−E)2−Δ2.\begin{gathered} H=\begin{pmatrix}E_0&\Delta\\\Delta&E_0\end{pmatrix},\\ \det(H-EI)=(E_0-E)^2-\Delta^2. \end{gathered}

Δ>0\Delta>0 より

E1=E0−Δ,∣1⟩=∣+⟩−∣−⟩2,E2=E0+Δ,∣2⟩=∣+⟩+∣−⟩2.\begin{gathered} \boxed{E_1=E_0-\Delta,\quad |1\rangle=\frac{|+\rangle-|-\rangle}{\sqrt2}},\\ \boxed{E_2=E_0+\Delta,\quad |2\rangle=\frac{|+\rangle+|-\rangle}{\sqrt2}}. \end{gathered}

問4​

シュレーディンガー方程式に展開を代入し、左から ⟨j∣\langle j| を掛けると iℏc˙j=Ejcji\hbar\dot c_j=E_jc_j である。したがって

c1(t)=ae−i(E0−Δ)t/ℏ,c2(t)=be−i(E0+Δ)t/ℏ.\boxed{\begin{gathered} c_1(t)=a e^{-i(E_0-\Delta)t/\hbar},\\ c_2(t)=b e^{-i(E_0+\Delta)t/\hbar} \end{gathered}}.

問5​

∣+⟩=(∣1⟩+∣2⟩)/2|+\rangle=(|1\rangle+|2\rangle)/\sqrt2 より a=b=1/2a=b=1/\sqrt2。問4を代入して

∣ψ(t)⟩=e−iE0t/ℏ[cos⁡(Δtℏ)∣+⟩−isin⁡(Δtℏ)∣−⟩].\boxed{|\psi(t)\rangle=e^{-iE_0t/\hbar} \left[\cos\left(\frac{\Delta t}{\hbar}\right)|+\rangle -i\sin\left(\frac{\Delta t}{\hbar}\right)|-\rangle\right]}.

問6​

P+(t)=∣⟨+∣ψ(t)⟩∣2=cos⁡2(Δtℏ).\boxed{P_+(t)=|\langle+|\psi(t)\rangle|^2 =\cos^2\left(\frac{\Delta t}{\hbar}\right)}.

問7​

QQ の固有値は ±1\pm1 なので

⟨Q^⟩t=P+(t)−P−(t)=cos⁡2(Δtℏ)−sin⁡2(Δtℏ)=cos⁡(2Δtℏ).\boxed{\begin{gathered} \langle\hat Q\rangle_t=P_+(t)-P_-(t)\\ =\cos^2\left(\frac{\Delta t}{\hbar}\right)-\sin^2\left(\frac{\Delta t}{\hbar}\right)\\ =\cos\left(\frac{2\Delta t}{\hbar}\right) \end{gathered}}.

Reference​

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