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埼玉大学 理工学研究科 物質科学専攻 物理学プログラム 2022年度 物理学II 問題1

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Author​

祭音Myyura (Based on miyake's answer refined with GPT 6 Astra)

Description​

規格化された2つの状態 ∣+⟩,∣−⟩|+\rangle,|-\rangle をもつ量子力学系を考える。この2状態以外は考慮しない。両状態はハミルトニアン H^0\hat H_0 の同じ固有値 E0E_0 の固有状態であり、エルミート演算子 Q^\hat Q について

H^0∣+⟩=E0∣+⟩,H^0∣−⟩=E0∣−⟩,Q^∣+⟩=∣+⟩,Q^∣−⟩=−∣−⟩\hat H_0|+\rangle=E_0|+\rangle,\qquad \hat H_0|-\rangle=E_0|-\rangle,\qquad \hat Q|+\rangle=|+\rangle,\qquad \hat Q|-\rangle=-|-\rangle

を満たす。

問1　⟨−∣+⟩=0\langle-|+\rangle=0 を示せ。

次に、Δ>0\Delta>0 を実定数とし、摂動

H^1∣+⟩=Δ∣−⟩,H^1∣−⟩=Δ∣+⟩\hat H_1|+\rangle=\Delta|-\rangle,\qquad \hat H_1|-\rangle=\Delta|+\rangle

を加えた H^=H^0+H^1\hat H=\hat H_0+\hat H_1 を考える。

問2　H^Q^≠Q^H^\hat H\hat Q\ne\hat Q\hat H を示し、このことの意味を簡単に述べよ。

問3　H^\hat H の固有値 E1<E2E_1<E_2 と、対応する規格化された固有状態 ∣1⟩,∣2⟩|1\rangle,|2\rangle を ∣+⟩,∣−⟩|+\rangle,|-\rangle を用いて求めよ。

問4　状態が

iℏddt∣ψ(t)⟩=H^∣ψ(t)⟩,∣ψ(t)⟩=c1(t)∣1⟩+c2(t)∣2⟩i\hbar\frac{d}{dt}|\psi(t)\rangle=\hat H|\psi(t)\rangle,\qquad |\psi(t)\rangle=c_1(t)|1\rangle+c_2(t)|2\rangle

を満たす。初期状態を ∣ψ(0)⟩=a∣1⟩+b∣2⟩|\psi(0)\rangle=a|1\rangle+b|2\rangle（a,ba,b は複素定数）として c1(t),c2(t)c_1(t),c_2(t) を求めよ。

問5　∣ψ(0)⟩=∣+⟩|\psi(0)\rangle=|+\rangle の場合、∣ψ(t)⟩|\psi(t)\rangle を ∣+⟩,∣−⟩|+\rangle,|-\rangle の線形結合で表せ。

問6　問5の状態が時刻 tt に ∣+⟩|+\rangle にある確率 P+(t)P_+(t) を求めよ。

問7　問5の場合の ⟨ψ(t)∣Q^∣ψ(t)⟩\langle\psi(t)|\hat Q|\psi(t)\rangle を求めよ。

题目描述​

归一化的两态 ∣±⟩|\pm\rangle 都是 H^0\hat H_0 的能量 E0E_0 本征态，且为厄米算符 Q^\hat Q 的 ±1\pm1 本征态，仅考虑这两态。

  1. 证明两态正交。
  2. 加入满足 H^1∣±⟩=Δ∣∓⟩\hat H_1|\pm\rangle=\Delta|\mp\rangle（Δ>0\Delta>0）的扰动，证明 H^=H^0+H^1\hat H=\hat H_0+\hat H_1 与 Q^\hat Q 不对易并说明意义。
  3. 求 E1<E2E_1<E_2 及相应的归一化态 ∣1⟩,∣2⟩|1\rangle,|2\rangle。
  4. 从初态 a∣1⟩+b∣2⟩a|1\rangle+b|2\rangle 出发，求含时薛定谔方程解的两个展开系数。
  5. 初态为 ∣+⟩|+\rangle 时，用 ∣±⟩|\pm\rangle 表示演化后的状态。
  6. 求此时测得 ∣+⟩|+\rangle 的概率。
  7. 求此时 Q^\hat Q 的期望值。

Kai​

問1​

Q^\hat Q のエルミート性から

⟨−∣Q^∣+⟩=⟨−∣+⟩=−⟨−∣+⟩.\langle-|\hat Q|+\rangle=\langle-|+\rangle =-\langle-|+\rangle.

よって ⟨−∣+⟩=0\boxed{\langle-|+\rangle=0}。

問2​

H^Q^∣+⟩=E0∣+⟩+Δ∣−⟩,Q^H^∣+⟩=E0∣+⟩−Δ∣−⟩.\hat H\hat Q|+\rangle=E_0|+\rangle+\Delta|-\rangle,\qquad \hat Q\hat H|+\rangle=E_0|+\rangle-\Delta|-\rangle.

差は 2Δ∣−⟩≠02\Delta|-\rangle\ne0 なので、[H^,Q^]≠0\boxed{[\hat H,\hat Q]\ne0}。この二状態系では、QQ の固有状態 ∣+⟩,∣−⟩|+\rangle,|-\rangle はいずれも H^\hat H の固有状態でないため、エネルギーと QQ を同時に確定する共通固有状態は存在しない。また、QQ は一般に時間発展で保存されない。

問3​

正規直交基底 (∣+⟩,∣−⟩)(|+\rangle,|-\rangle) で

H=(E0ΔΔE0),det⁡(H−EI)=(E0−E)2−Δ2.H=\begin{pmatrix}E_0&\Delta\\\Delta&E_0\end{pmatrix},\qquad \det(H-EI)=(E_0-E)^2-\Delta^2.

Δ>0\Delta>0 より

E1=E0−Δ,∣1⟩=∣+⟩−∣−⟩2,E2=E0+Δ,∣2⟩=∣+⟩+∣−⟩2.\boxed{E_1=E_0-\Delta,\quad |1\rangle=\frac{|+\rangle-|-\rangle}{\sqrt2}},\qquad \boxed{E_2=E_0+\Delta,\quad |2\rangle=\frac{|+\rangle+|-\rangle}{\sqrt2}}.

問4​

シュレーディンガー方程式に展開を代入し、左から ⟨j∣\langle j| を掛けると iℏc˙j=Ejcji\hbar\dot c_j=E_jc_j である。したがって

c1(t)=ae−i(E0−Δ)t/ℏ,c2(t)=be−i(E0+Δ)t/ℏ.\boxed{c_1(t)=a e^{-i(E_0-\Delta)t/\hbar},\qquad c_2(t)=b e^{-i(E_0+\Delta)t/\hbar}}.

問5​

∣+⟩=(∣1⟩+∣2⟩)/2|+\rangle=(|1\rangle+|2\rangle)/\sqrt2 より a=b=1/2a=b=1/\sqrt2。問4を代入して

∣ψ(t)⟩=e−iE0t/ℏ[cos⁡(Δtℏ)∣+⟩−isin⁡(Δtℏ)∣−⟩].\boxed{|\psi(t)\rangle=e^{-iE_0t/\hbar} \left[\cos\left(\frac{\Delta t}{\hbar}\right)|+\rangle -i\sin\left(\frac{\Delta t}{\hbar}\right)|-\rangle\right]}.

問6​

P+(t)=∣⟨+∣ψ(t)⟩∣2=cos⁡2(Δtℏ).\boxed{P_+(t)=|\langle+|\psi(t)\rangle|^2 =\cos^2\left(\frac{\Delta t}{\hbar}\right)}.

問7​

QQ の固有値は ±1\pm1 なので

⟨Q^⟩t=P+(t)−P−(t)=cos⁡2(Δtℏ)−sin⁡2(Δtℏ)=cos⁡(2Δtℏ).\boxed{\langle\hat Q\rangle_t=P_+(t)-P_-(t) =\cos^2\left(\frac{\Delta t}{\hbar}\right)-\sin^2\left(\frac{\Delta t}{\hbar}\right) =\cos\left(\frac{2\Delta t}{\hbar}\right)}.

Reference​

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