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琉球大学 理工学研究科 物質地球科学専攻 物理系 2024年8月実施 [II] 問3

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Author​

祭音Myyura (co-authored with GPT 5.6 SOL)

Description​

真空中に電荷も電流もない場合について、次の問に答えよ。

  1. 電場 E\boldsymbol E と磁束密度 B\boldsymbol B に対する Maxwell 方程式を示せ。

  2. E,B\boldsymbol E,\boldsymbol B がそれぞれ

    (1v2∂2∂t2−∇2)u=0\left(\frac{1}{v^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2}-\nabla^2\right)\boldsymbol u=\boldsymbol0

    と同形の波動方程式に従うことを示せ。

  3. 電磁波の速さを求め、光速と一致することを示せ。

Kai​

(1)​

∇⋅E=0,∇⋅B=0,\nabla\cdot\boldsymbol E=0,\qquad \nabla\cdot\boldsymbol B=0,
∇×E=−∂B∂t,∇×B=μ0ε0∂E∂t.\nabla\times\boldsymbol E=-\frac{\partial\boldsymbol B}{\partial t},\qquad \nabla\times\boldsymbol B=\mu_0\varepsilon_0 \frac{\partial\boldsymbol E}{\partial t}.

(2)​

恒等式

∇×(∇×u)=∇(∇⋅u)−∇2u\nabla\times(\nabla\times\boldsymbol u) =\nabla(\nabla\cdot\boldsymbol u)-\nabla^2\boldsymbol u

を用いる。Faraday の法則の両辺に ∇×\nabla\times を作用させると

−∇2E=−μ0ε0∂2E∂t2,-\nabla^2\boldsymbol E =-\mu_0\varepsilon_0\frac{\partial^2\boldsymbol E}{\partial t^2},

したがって

(μ0ε0∂2∂t2−∇2)E=0.\left(\mu_0\varepsilon_0\frac{\partial^2}{\partial t^2} -\nabla^2\right)\boldsymbol E=\boldsymbol0.

同様に Ampère--Maxwell の法則の両辺に ∇×\nabla\times を作用させると

(μ0ε0∂2∂t2−∇2)B=0.\left(\mu_0\varepsilon_0\frac{\partial^2}{\partial t^2} -\nabla^2\right)\boldsymbol B=\boldsymbol0.

よって

v=1μ0ε0.v=\frac{1}{\sqrt{\mu_0\varepsilon_0}}.

(3)​

真空中では

c=1μ0ε0c=\frac{1}{\sqrt{\mu_0\varepsilon_0}}

であるから、v=c\boxed{v=c} である。

Reference​

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