大阪大学 基礎工学研究科 知能システム学 2022年8月実施 I-1

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• 链式法则

Author

Miyake

Description

以下の問い 1)～4) に答えよ。

1. 次の関数の導関数を求めよ。ただし $x>0$ とする。

   $$y=x^{x^x}$$

2. 一辺の長さが 1 km の正方形の頂点に建つ工場 A、B、C、D（図1a）全てに行き来できる道路を設計する。設計例のいくつかを図1bに示す。ただし工場の大きさ、道路の幅は無視できるものとする。総延長が最小となる道路の長さを求めよ。

3. 直円錐（頂点と底面の中心を結ぶ直線が底面に直交する円錐）の表面積が一定のとき、その体積が最大なる高さと底面の半径の比を求めよ。

4. 半径1の円（中心 O）に外接する三角形 ABC（図2）について以下の小問 a)、b) に答えよ。

a) 3辺 AB、BC、CA と円の接点をそれぞれ P、Q、R とし、$\angle\mathrm{POQ}=2x\ (0<x<\pi/2)$、$\angle\mathrm{QOR}=2y\ (0<y<\pi/2)$ とする。このとき三角形 ABC の面積を $x$ と $y$ の2変数関数で表せ。

b) 三角形 ABC の面積が最小となる $x$、$y$、並びにそのときの面積を求めよ（導出過程も示すこと）。

题目描述

回答下列 1)～4)。

1. 求下列函数的导数，其中 $x>0$。

   $$y=x^{x^x}$$

2. 在边长为 1 km 的正方形四个顶点建有工厂 A、B、C、D（图1a）。设计道路，使四个工厂之间可以相互通行。图1b给出一些设计示例。忽略工厂的大小和道路的宽度，求总长度最短的道路长度。

3. 直圆锥（顶点与底面圆心的连线垂直于底面）的表面积固定时，求体积达到最大值时高度与底面半径之比。

4. 对外切于半径为1、圆心为 O 的圆的三角形 ABC（图2），回答 a)、b)。

a) 设边 AB、BC、CA 与圆的切点分别为 P、Q、R，$\angle\mathrm{POQ}=2x\ (0<x<\pi/2)$、$\angle\mathrm{QOR}=2y\ (0<y<\pi/2)$。将三角形 ABC 的面积表示为 $x,y$ 的二元函数。

b) 求使三角形 ABC 面积最小的 $x,y$，以及此时的面积，并写出推导过程。

Kai

(1)

$z=x^x$ とおくと、

$$\begin{aligned} \log z &= x \log x \\ \frac{1}{z} \frac{dz}{dx} &= \log x + 1 \\ \therefore \ \ \frac{dz}{dx} &= z \left( \log x + 1 \right) \\ &= x^x \left( \log x + 1 \right) \end{aligned}$$

であり、 $y=x^z$ であるから、

$$\begin{aligned} \log y &= z \log x \\ \frac{1}{y} \frac{dy}{dx} &= \frac{dz}{dx} \log x + \frac{z}{x} \\ &= z \left( \log x + 1 \right) \log x + \frac{z}{x} \\ &= x^{x-1} \left( x \left( \log x + 1 \right) \log x + 1 \right) \\ \therefore \ \ \frac{dy}{dx} &= y x^{x-1} \left( x \left( \log x + 1 \right) \log x + 1 \right) \\ &= x^{x^x+x-1} \left( x \left( \log x + 1 \right) \log x + 1 \right) \end{aligned}$$

がわかる。

(2)

正方形の頂点を $A=(0,1),B=(0,0),C=(1,0),D=(1,1)$ とし、単位を km とする。

最短網には閉路や不要な枝がなく、内部の分岐点では3本の直線が $120^\circ$ で交わる。角度がこれより小さければ分岐を少し移して短縮できる。正方形の頂点の内角は $90^\circ$ なので、最短網では各頂点の次数は1となり、内部の分岐点は2個である。交差する枝も短縮できるため、対角の頂点どうしを対にする形は除かれ、隣り合う2頂点ずつを結ぶ形を考えればよい。

対称性と距離の凸性から、分岐点を $S=(u,1/2),T=(1-u,1/2)$ と置ける。総延長は

$$\ell(u)=4\sqrt{u^2+1/4}+1-2u,\qquad0\le u\le1/2.$$

$\ell'(u)=4u/\sqrt{u^2+1/4}-2=0$ より $u=1/(2\sqrt3)$。$\ell''(u)>0$ なので

$$\boxed{\ell_{\min}=1+\sqrt3\ \mathrm{km}}.$$

(3)

底面半径を $r$、高さを $h$、固定された総表面積を $S$ とする。$q=\sqrt{r^2+h^2}/r>1$ と置くと

$$\begin{gathered} S=\pi r^2(1+q),\\ V=\frac\pi3r^3\sqrt{q^2-1},\\ V^2=\frac{S^3}{9\pi}\frac{q-1}{(q+1)^2}. \end{gathered}$$

$$\frac d{dq}\frac{q-1}{(q+1)^2}=\frac{3-q}{(q+1)^3}$$

より最大値は $q=3$ のときであり、

$$\boxed{h/r=\sqrt{q^2-1}=2\sqrt2}.$$

(4)

a)

残る接点間の中心角の半分を $z=\pi-x-y$ とすると、$0<z<\pi/2$、すなわち $\pi/2<x+y<\pi$。接線の長さは各頂点について $\tan x,\tan y,\tan z$ である。内接円の半径が1なので、面積は半周長に等しく、

$$\boxed{S(x,y)=\tan x+\tan y-\tan(x+y)}.$$

b)

停留条件は

$$\sec^2x=\sec^2y=\sec^2(x+y).$$

$x,y\in(0,\pi/2)$ より $x=y$ であり、上記の範囲内では $x=y=\pi/3$ となる。さらに $\tan$ は $(0,\pi/2)$ 上で厳密に凸なので、$x+y+z=\pi$ より

$$\begin{gathered} S=\tan x+\tan y+\tan z\ge3\tan(\pi/3)\\ =3\sqrt3. \end{gathered}$$

等号は $x=y=z=\pi/3$ のときに限る。よって

$$\boxed{x=y=\pi/3,\qquad S_{\min}=3\sqrt3}.$$

Reference

• 大阪大学 基礎工学研究科 2023年度 知能システム学I