大阪大学 基礎工学研究科 知能システム学 2022年8月実施 I-1

标签：

• Osaka-University
• Logarithmic-Differentiation
• Chain-Rule

Author

Miyake

Description

题目描述

原文题干缺失。根据现有解答，第 1 题要求对 $x>0$ 求函数

$$y=x^{\,x^x}$$

的导数。第 2、3、4 题的题干与解答均未保留。

Kai

(1)

$z=x^x$ とおくと、

$$\begin{aligned} \log z &= x \log x \\ \frac{1}{z} \frac{dz}{dx} &= \log x + 1 \\ \therefore \ \ \frac{dz}{dx} &= z \left( \log x + 1 \right) \\ &= x^x \left( \log x + 1 \right) \end{aligned}$$

であり、 $y=x^z$ であるから、

$$\begin{aligned} \log y &= z \log x \\ \frac{1}{y} \frac{dy}{dx} &= \frac{dz}{dx} \log x + \frac{z}{x} \\ &= z \left( \log x + 1 \right) \log x + \frac{z}{x} \\ &= x^{x-1} \left( x \left( \log x + 1 \right) \log x + 1 \right) \\ \therefore \ \ \frac{dy}{dx} &= y x^{x-1} \left( x \left( \log x + 1 \right) \log x + 1 \right) \\ &= x^{x^x+x-1} \left( x \left( \log x + 1 \right) \log x + 1 \right) \end{aligned}$$

がわかる。

(2)

(3)

(4)