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大阪大学 基礎工学研究科 数理科学 (システム創成専攻) 2024年度 数理科学 [I-6]

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Author​

祭音Myyura (co-authored with GPT 5.6 SOL)

Description​

pp と nin_i (i=1,…,pi=1,\ldots,p) は2以上の整数、μ\mu は実数、σe2>0\sigma_e^2>0 とし、∑i=1pniai=0\sum_{i=1}^pn_ia_i=0 を満たす実数 aia_i を考える。 eije_{ij} は独立同分布 N(0,σe2)N(0,\sigma_e^2)、Yij=μ+ai+eijY_{ij}=\mu+a_i+e_{ij} とする。n∙=∑inin_\bullet=\sum_i n_i、

Yˉi∙=1ni∑jYij,Yˉ∙∙=1n∙∑i,jYij,\bar Y_{i\bullet}=\frac1{n_i}\sum_jY_{ij},\qquad \bar Y_{\bullet\bullet}=\frac1{n_\bullet}\sum_{i,j}Y_{ij},
SA=∑ini(Yˉi∙−Yˉ∙∙)2,Se=∑i,j(Yij−Yˉi∙)2,S_A=\sum_i n_i(\bar Y_{i\bullet}-\bar Y_{\bullet\bullet})^2,\quad S_e=\sum_{i,j}(Y_{ij}-\bar Y_{i\bullet})^2,
σA2=1p−1∑iniai2,T=SAp−1−Sen∙−p\sigma_A^2=\frac1{p-1}\sum_i n_i a_i^2,\qquad T=\frac{S_A}{p-1}-\frac{S_e}{n_\bullet-p}

とおく。μ,a1,…,ap,σe2\mu,a_1,\ldots,a_p,\sigma_e^2 は未知パラメータである。

(1) ∑i,j(Yij−Yˉ∙∙)2=SA+Se\sum_{i,j}(Y_{ij}-\bar Y_{\bullet\bullet})^2=S_A+S_e を示せ。

(2) E[T]E[T] を求めよ。

(3) 次のデータに対し、有意水準5%で以下の検定を行え。多重性は考慮しなくてよい。自由度4、12の tt 分布の上側2.5%点は t4(0.025)=2.78t_4(0.025)=2.78, t12(0.025)=2.18t_{12}(0.025)=2.18、自由度(3,16)の FF 分布の上側5%点は F3,16(0.05)=3.24F_{3,16}(0.05)=3.24 とする。

A1A_1A2A_2A3A_3A4A_4
データ1.5, 2.5, 3.52, 3, 4, 2, 3, 4, 33, 4, 5, 3, 4, 5, 43.5, 4.5, 5.5
nin_i3773
平均2.53.04.04.5
群内平方和2.04.04.02.0

(3a) A1,A4A_1,A_4 のデータだけを用い、H0:a1=a4H_0:a_1=a_4 対 H1:a1≠a4H_1:a_1\ne a_4 の tt 検定を行え。

(3b) 全データを用い、H0:a1=a2=a3=a4H_0:a_1=a_2=a_3=a_4 対「H0H_0 ではない」の FF 検定を行え。総平方和21.5を用いてよい。

Kai​

(1)​

Yij−Yˉ∙∙=(Yij−Yˉi∙)+(Yˉi∙−Yˉ∙∙)Y_{ij}-\bar Y_{\bullet\bullet}=(Y_{ij}-\bar Y_{i\bullet})+(\bar Y_{i\bullet}-\bar Y_{\bullet\bullet})

を二乗して加える。各群で ∑j(Yij−Yˉi∙)=0\sum_j(Y_{ij}-\bar Y_{i\bullet})=0 なので交差項は消え、右辺は Se+SAS_e+S_A となる。

(2)​

eˉi=ni−1∑jeij\bar e_i=n_i^{-1}\sum_je_{ij}、eˉ=n∙−1∑inieˉi\bar e=n_\bullet^{-1}\sum_i n_i\bar e_i とする。重み付き制約から Yˉi∙−Yˉ∙∙=ai+eˉi−eˉ\bar Y_{i\bullet}-\bar Y_{\bullet\bullet}=a_i+\bar e_i-\bar e であり、

Var⁡(eˉi−eˉ)=σe2(1ni−1n∙).\operatorname{Var}(\bar e_i-\bar e)=\sigma_e^2\left(\frac1{n_i}-\frac1{n_\bullet}\right).

従って

E[SA]=∑iniai2+(p−1)σe2,E[Se]=(n∙−p)σe2,E[S_A]=\sum_i n_i a_i^2+(p-1)\sigma_e^2,\qquad E[S_e]=(n_\bullet-p)\sigma_e^2,

より E[T]=σA2\boxed{E[T]=\sigma_A^2}。

(3a)​

共通分散の不偏推定値は sp2=(2+2)/(3+3−2)=1s_p^2=(2+2)/(3+3-2)=1。検定統計量は

t=2.5−4.51(1/3+1/3)=−6≃−2.45.t=\frac{2.5-4.5}{\sqrt{1(1/3+1/3)}}=-\sqrt6\simeq-2.45.

自由度4で ∣t∣<2.78|t|<2.78 なので、5%水準では H0 を棄却しない\boxed{H_0\text{ を棄却しない}}。

(3b)​

n∙=20n_\bullet=20、yˉ∙∙=3.5\bar y_{\bullet\bullet}=3.5、Se=12S_e=12、SA=21.5−12=9.5S_A=21.5-12=9.5。したがって

F=SA/3Se/16=389≃4.22>3.24.F=\frac{S_A/3}{S_e/16}=\frac{38}{9}\simeq4.22>3.24.

よって5%水準で H0 を棄却する\boxed{H_0\text{ を棄却する}}。4水準の母平均がすべて等しいとはいえない。

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