大阪大学 基礎工学研究科 数理科学 (システム創成専攻) 2024年度 数理科学 [I-3]

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• Residue-Theorem

Author

祭音Myyura (co-authored with GPT 5.6 SOL)

Description

$n$ を自然数とし、複素数 $z\ne0$ に対して $f(z)=z^{-1}(z+z^{-1})^n$ とする。

(1) 原点における $f$ の留数を求めよ。

(2) $C$ を単位円を反時計回りに一周する閉曲線とする。$\int_Cf(z)\,dz$ を求めよ。

(3) $\int_0^{2\pi}\cos^{2n}\theta\,d\theta$ を求めよ。

Kai

(1)

$$f(z)=\sum_{j=0}^n\binom nj z^{n-2j-1}$$

において $z^{-1}$ の係数を取ると

$$\boxed{\operatorname{Res}_{z=0}f=\begin{cases}\binom n{n/2}&n\text{ が偶数},\\0&n\text{ が奇数}.\end{cases}}$$

(2)

留数定理より

$$\boxed{\int_Cf(z)\,dz=\begin{cases}2\pi i\binom n{n/2}&n\text{ が偶数},\\0&n\text{ が奇数}.\end{cases}}$$

(3)

(2)で指数を $2n$ とし、$z=e^{i\theta}$ とおくと

$$2\pi i\binom{2n}n=i\int_0^{2\pi}(2\cos\theta)^{2n}\,d\theta.$$

従って $\boxed{\displaystyle\int_0^{2\pi}\cos^{2n}\theta\,d\theta=\frac{2\pi}{4^n}\binom{2n}n}$。