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大阪大学 基礎工学研究科 数理科学 (システム創成専攻) 2024年度 数理科学 [I-1]

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Author​

祭音Myyura (co-authored with GPT 5.6 SOL)

Description​

Ω={(x,y,z)∈R3  |  (x2+y2−2)2+z2≤1, x≥0}\Omega=\left\{(x,y,z)\in\mathbb R^3\;\middle|\; \left(\sqrt{x^2+y^2}-2\right)^2+z^2\le1,\ x\ge0\right\}

とおく。

(1) Ω\Omega の各点は

x=(2+rcos⁡θ)cos⁡φ,y=(2+rcos⁡θ)sin⁡φ,z=rsin⁡θx=(2+r\cos\theta)\cos\varphi,\quad y=(2+r\cos\theta)\sin\varphi,\quad z=r\sin\theta

と表せる。ただし 0≤r≤10\le r\le1, 0≤θ<2π0\le\theta<2\pi, −π/2≤φ≤π/2-\pi/2\le\varphi\le\pi/2 とする。ヤコビアン ∂(x,y,z)/∂(r,θ,φ)\partial(x,y,z)/\partial(r,\theta,\varphi) を求めよ。

(2) ∭Ω(x2+y2) dx dy dz\iiint_\Omega(x^2+y^2)\,dx\,dy\,dz を求めよ。

Kai​

(1)​

ρ=2+rcos⁡θ\rho=2+r\cos\theta とおくと

∂(x,y,z)∂(r,θ,φ)=det⁡(cos⁡θcos⁡φ−rsin⁡θcos⁡φ−ρsin⁡φcos⁡θsin⁡φ−rsin⁡θsin⁡φρcos⁡φsin⁡θrcos⁡θ0)=−r(2+rcos⁡θ).\frac{\partial(x,y,z)}{\partial(r,\theta,\varphi)} =\det\begin{pmatrix} \cos\theta\cos\varphi&-r\sin\theta\cos\varphi&-\rho\sin\varphi\\ \cos\theta\sin\varphi&-r\sin\theta\sin\varphi&\rho\cos\varphi\\ \sin\theta&r\cos\theta&0 \end{pmatrix} =\boxed{-r(2+r\cos\theta)}.

(2)​

ρ≥1\rho\ge1 なので体積要素は rρ dr dθ dφr\rho\,dr\,d\theta\,d\varphi。したがって

∭Ω(x2+y2) dx dy dz=π∫01∫02πr(2+rcos⁡θ)3 dθ dr=π∫01r(16π+6πr2) dr=19π22.\begin{aligned} \iiint_\Omega(x^2+y^2)\,dx\,dy\,dz &=\pi\int_0^1\int_0^{2\pi}r(2+r\cos\theta)^3\,d\theta\,dr\\ &=\pi\int_0^1r(16\pi+6\pi r^2)\,dr =\boxed{\frac{19\pi^2}{2}}. \end{aligned}
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