大阪大学基礎工学研究科数理科学 (システム創成専攻) 2024年度数理科学 [II-8]

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祭音Myyura (co-authored with GPT 5.6 SOL)

$n$ は正の整数とする。実数値確率変数 $X_1,\ldots,X_n$ は独立同分布で、密度は

f(x;\mu)=\frac1{\sqrt{1+\mu^2}+1} \exp\left(\frac\mu{\sqrt{1+\mu^2}+1}x-|x|\right),\qquad x\in\mathbb R,\quad\mu\in\mathbb R

とする。 $\bar X_n=n^{-1}\sum_iX_i$ について、次の問いに理由を付して答えよ。

(1) $\bar X_n$ は $\mu$ の不偏推定量か。

(2) $\bar X_n^2$ は $\mu^2$ の不偏推定量か。

(3) $n\to\infty$ のとき、 $\bar X_n^3$ は $\mu^3$ の一致推定量か。

$s=\sqrt{1+\mu^2}$ , $a=s+1$ , $b=\mu/a$ とおく。 $|b|<1$ , $1-b^2=2/a$ であり、密度は $x\ge0$ で $a^{-1}e^{-(1-b)x}$ 、 $x<0$ で $a^{-1}e^{(1+b)x}$ と表される。

E[X_i]=\frac1a\left\{\frac1{(1-b)^2}-\frac1{(1+b)^2}\right\} =\frac{4b}{a(1-b^2)^2}=ab=\mu.

従って $\boxed{E[\bar X_n]=\mu}$ であり、不偏推定量である。

同様に

E[X_i^2]=\frac2a\left\{\frac1{(1-b)^3}+\frac1{(1+b)^3}\right\} =2\mu^2+s+1,

より $\operatorname{Var}(X_i)=\mu^2+s+1=s(s+1)>0$ 。したがって

\boxed{E[\bar X_n^2]=\mu^2+\frac{s(s+1)}n>\mu^2}

であり、不偏ではない。

$E|X_i|<\infty$ なので大数の法則から $\bar X_n\xrightarrow{P}\mu$ 。関数 $x\mapsto x^3$ は連続であるから $\boxed{\bar X_n^3\xrightarrow{P}\mu^3}$ 。従って一致推定量である。