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大阪大学 基礎工学研究科 数理科学 (システム創成専攻) 2024年度 数理科学 [II-7]

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Author​

祭音Myyura (co-authored with GPT 5.6 SOL)

Description​

(μ1,μ2)∈R2(\mu_1,\mu_2)\in\mathbb R^2 とし、実数値確率変数 Y1,Y2Y_1,Y_2 は独立で Yj∼N(μj,1)Y_j\sim N(\mu_j,1) とする。Y12+Y22Y_1^2+Y_2^2 の分布を自由度2、非心度 μ12+μ22\mu_1^2+\mu_2^2 の非心カイ二乗分布という。その累積分布関数を F(x;2,λ2)F(x;2,\lambda^2)（λ≥0\lambda\ge0）とする。Φ,g\Phi,g は標準正規分布の累積分布関数と密度、f1f_1 は自由度1のカイ二乗密度とする。

(1) λ≥0,x≥0\lambda\ge0,x\ge0 に対して

F(x;2,λ2)=∫0x{Φ(λ+x−v)−Φ(λ−x−v)}f1(v) dvF(x;2,\lambda^2)=\int_0^x\{\Phi(\lambda+\sqrt{x-v})-\Phi(\lambda-\sqrt{x-v})\}f_1(v)\,dv

を示せ。

(2) λ2≥λ1≥0,x≥0\lambda_2\ge\lambda_1\ge0,x\ge0 に対して

F(x;2,λ12)−F(x;2,λ22)=∫0x∫λ1−x−vλ2−x−v[1−e−2x−v(u+x−v)]g(u)f1(v) du dv\begin{aligned} F(x;2,\lambda_1^2)-F(x;2,\lambda_2^2) =\int_0^x\int_{\lambda_1-\sqrt{x-v}}^{\lambda_2-\sqrt{x-v}} \left[1-e^{-2\sqrt{x-v}(u+\sqrt{x-v})}\right]g(u)f_1(v)\,du\,dv \end{aligned}

を示せ。

(3) 同じ条件で F(x;2,λ22)≤F(x;2,λ12)F(x;2,\lambda_2^2)\le F(x;2,\lambda_1^2) を示せ。

(4) θ>0\theta>0 とし、Ω\Omega を原点中心・半径 θ\theta の閉円板とする。0<α<10<\alpha<1 に対し、H0:(μ1,μ2)∈ΩH_0:(\mu_1,\mu_2)\in\Omega 対 H1:(μ1,μ2)∈ΩcH_1:(\mu_1,\mu_2)\in\Omega^c の検定関数 φ:R2→{0,1}\varphi:\mathbb R^2\to\{0,1\} で

Eμ[φ]≤α (μ∈Ω),Eμ[φ]≥α (μ∈Ωc)E_\mu[\varphi]\le\alpha\ (\mu\in\Omega),\qquad E_\mu[\varphi]\ge\alpha\ (\mu\in\Omega^c)

を満たすものを1つ構成せよ。

Kai​

(1)​

標準2変量正規分布の回転不変性より、平均を (λ,0)(\lambda,0) としてよい。Y22=vY_2^2=v で条件付けると、0≤v≤x0\le v\le x に対して

P(Y12≤x−v)=Φ(x−v−λ)−Φ(−x−v−λ)=Φ(λ+x−v)−Φ(λ−x−v).P(Y_1^2\le x-v)=\Phi(\sqrt{x-v}-\lambda)-\Phi(-\sqrt{x-v}-\lambda) =\Phi(\lambda+\sqrt{x-v})-\Phi(\lambda-\sqrt{x-v}).

これに f1(v)f_1(v) を掛けて 0≤v≤x0\le v\le x で積分すればよい。

(2)​

s=x−vs=\sqrt{x-v} とし、H(λ)=Φ(λ+s)−Φ(λ−s)H(\lambda)=\Phi(\lambda+s)-\Phi(\lambda-s) とおく。

H(λ1)−H(λ2)=∫λ1λ2{g(t−s)−g(t+s)} dt=∫λ1−sλ2−s{g(u)−g(u+2s)} du.\begin{aligned} H(\lambda_1)-H(\lambda_2) &=\int_{\lambda_1}^{\lambda_2}\{g(t-s)-g(t+s)\}\,dt\\ &=\int_{\lambda_1-s}^{\lambda_2-s}\{g(u)-g(u+2s)\}\,du. \end{aligned}

g(u+2s)=g(u)e−2s(u+s)g(u+2s)=g(u)e^{-2s(u+s)} を代入し、(1)に用いれば設問の式を得る。

(3)​

積分範囲では s≥0s\ge0, u+s≥λ1≥0u+s\ge\lambda_1\ge0 である。従って 1−e−2s(u+s)≥01-e^{-2s(u+s)}\ge0 であり、(2)の右辺は非負となる。

(4)​

F(c;2,θ2)=1−αF(c;2,\theta^2)=1-\alpha を満たす c>0c>0 を取り、

φ(y1,y2)=1{y12+y22>c}\boxed{\varphi(y_1,y_2)=1_{\{y_1^2+y_2^2>c\}}}

とする。λ2=μ12+μ22\lambda^2=\mu_1^2+\mu_2^2 とおくと

Eμ[φ]=1−F(c;2,λ2).E_\mu[\varphi]=1-F(c;2,\lambda^2).

(3)よりこれは λ\lambda の非減少関数であり、λ=θ\lambda=\theta で α\alpha に等しい。したがって帰無仮説内では α\alpha 以下、その外では α\alpha 以上となる。

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