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大阪大学 基礎工学研究科 数理科学 (システム創成専攻) 2024年度 数理科学 [II-5]

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Author​

祭音Myyura (co-authored with GPT 5.6 SOL)

Description​

ルベーグ測度に関して可積分な非負関数 f:(0,∞)→[0,∞)f:(0,\infty)\to[0,\infty) に対して、各自然数 nn ごとに

fn(x,y)=f(x)nf(x)n+(ex+y−1)yn(x,y>0)f_n(x,y)=\frac{f(x)^n}{f(x)^n+(e^{x+y}-1)y^n}\qquad(x,y>0)

とする。以下の集合はすべて (0,∞)2(0,\infty)^2 内で定め、A={(x,y):y<f(x)}A=\{(x,y):y<f(x)\}, B={(x,y):y=f(x)}B=\{(x,y):y=f(x)\}, C={(x,y):y>f(x)}C=\{(x,y):y>f(x)\} とおく。

(1) fnf_n の極限が、AA 上で1、BB 上で e−(x+y)e^{-(x+y)}、CC 上で0となることを示せ。

(2) g=1g=1（AA 上）、g=e−(x+y)g=e^{-(x+y)}（B∪CB\cup C 上）とするとき、0≤fn≤g0\le f_n\le g を示せ。

(3) lim⁡n→∞∫0∞∫0∞fn(x,y) dx dy=∫0∞f(x) dx\lim_{n\to\infty}\int_0^\infty\int_0^\infty f_n(x,y)\,dx\,dy=\int_0^\infty f(x)\,dx を示せ。

Kai​

(1)​

f(x)>0f(x)>0 のとき

fn(x,y)=11+(ex+y−1)(y/f(x))n.f_n(x,y)=\frac1{1+(e^{x+y}-1)(y/f(x))^n}.

比 y/f(x)y/f(x) が1未満、1、1より大きい場合に分ければ、順に1、e−(x+y)e^{-(x+y)}、0に収束する。f(x)=0f(x)=0 のときは y>0y>0 なので CC に属し、fn=0f_n=0 である。

(2)​

AA 上では 0≤fn≤10\le f_n\le1。B∪CB\cup C では f(x)=0f(x)=0 の場合を除き (y/f(x))n≥1(y/f(x))^n\ge1 より

fn≤11+(ex+y−1)=e−(x+y).f_n\le\frac1{1+(e^{x+y}-1)}=e^{-(x+y)}.

(3)​

トネリの定理より

∬1A(x,y) dx dy=∫0∞f(x) dx<∞.\iint 1_A(x,y)\,dx\,dy=\int_0^\infty f(x)\,dx<\infty.

また g≤1A+e−(x+y)g\le1_A+e^{-(x+y)} なので ∬g≤∫f+1<∞\iint g\le\int f+1<\infty。各 xx における BB の縦断面は高々1点であるから、再びトネリの定理により BB の平面測度は0。従って fn→1Af_n\to1_A はほとんど至る所で成立し、優収束定理から

lim⁡n→∞∬fn=∬1A=∫0∞f(x) dx.\boxed{\lim_{n\to\infty}\iint f_n=\iint1_A=\int_0^\infty f(x)\,dx}.
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