大阪大学基礎工学研究科数理科学 (システム創成専攻) 2024年度数理科学 [II-1]

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祭音Myyura (co-authored with GPT 5.6 SOL)

実 $n\times n$ 行列 $A$ に対し、実数 $\lambda_j$ と線形独立な $p_j\in\mathbb R^n$ が存在して

Ap_j=\lambda_jp_j\quad(j=1,\ldots,n),\qquad\lambda_1\ne0,\quad \left|\frac{\lambda_j}{\lambda_1}\right|<1\quad(j=2,\ldots,n)

を満たすとする。 $\alpha_1>0$ , $\alpha_j\in\mathbb R$ （ $j\ge2$ ）を任意に選び、

x_0=\sum_{j=1}^n\alpha_jp_j,\qquad x_k=\frac{A^{2k}x_0}{\|A^{2k}x_0\|}\quad(k\in\mathbb N)

とする。ノルムと内積は標準ユークリッドのものとする。このとき

\lim_{k\to\infty}x_k=\frac{p_1}{\|p_1\|},\qquad \lim_{k\to\infty}(Ax_k,x_k)=\lambda_1

を示せ。

A^{2k}x_0=\lambda_1^{2k}\left(\alpha_1p_1+ \sum_{j=2}^n\alpha_j\left(\frac{\lambda_j}{\lambda_1}\right)^{2k}p_j\right) =\lambda_1^{2k}(\alpha_1p_1+r_k)

とおけば、 $r_k\to0$ 。 $\lambda_1^{2k}>0$ かつ $\alpha_1>0$ なので

x_k=\frac{\alpha_1p_1+r_k}{\|\alpha_1p_1+r_k\|} \longrightarrow\frac{\alpha_1p_1}{\alpha_1\|p_1\|} =\boxed{\frac{p_1}{\|p_1\|}}.

行列の作用と内積の連続性から

\lim_{k\to\infty}(Ax_k,x_k) =\frac{(Ap_1,p_1)}{\|p_1\|^2}=\boxed{\lambda_1}.