大阪大学 基礎工学研究科 数理科学 (システム創成専攻) 2023年度 数理科学 I [2]

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• Osaka-University
• Linear-Algebra

Author

祭音Myyura (co-authored with GPT 5.6 SOL)

Description

$a\in\mathbb R$ とし、

$$A=\begin{pmatrix}-2a+5&-2a+4&2a-3\\2a-3&2a-2&-2a+3\\-a+2&-a+2&a\end{pmatrix}$$

とおく。

(1) $A$ の固有値をすべて求めよ。

(2) $A$ が対角化可能でない $a$ をすべて求めよ。

(3) $n$ を3以上の自然数とする。$A$ が対角化可能でないとき、$A^n$ を単位行列 $E,A,A^2$ の一次結合として表せ。

Kai

(1)

$$\det(xE-A)=(x-1)(x-2)(x-a)$$

なので固有値は $\boxed{1,2,a}$（重複を含む）。

(2)

$a\notin\{1,2\}$ なら固有値が相異なるので対角化可能である。

$a=1$ では $\dim\ker(A-E)=1$ だが固有値 $1$ の代数的重複度は $2$ なので対角化できない。

$a=2$ では $\ker(A-2E)$ は $(0,1,0)^T,(1,0,1)^T$ を基底にもち、固有値 $1$ の固有ベクトル $(-1,1,0)^T$ と合わせて基底をなす。したがって答えは $\boxed{a=1}$ のみ。

(3)

$a=1$ の最小多項式は $(x-1)^2(x-2)$。$x^n$ をこれで割った余りを $q(x)=ux^2+vx+w$ とすると

$$q(1)=1,\quad q'(1)=n,\quad q(2)=2^n.$$

これを解き、Cayley–Hamilton の定理を用いて

$$\boxed{A^n=(2^n-n-1)A^2+(3n+2-2^{n+1})A+(2^n-2n)E}.$$