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大阪大学 基礎工学研究科 数理科学 (システム創成専攻) 2023年度 数理科学 II [5]

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Author​

祭音Myyura (co-authored with GPT 5.6 SOL)

Description​

X=C([0,1],R)X=C([0,1],\mathbb R)、d(f,g)=max⁡0≤x≤1∣f(x)−g(x)∣d(f,g)=\max_{0\le x\le1}|f(x)-g(x)| とする。

F(f)(x)=∫0x{sf(s)+1} ds,f0=0,fn=F(fn−1),h(x)=∑k=1∞x2k−1(2k−1)!!F(f)(x)=\int_0^x\{sf(s)+1\}\,ds,\quad f_0=0,\quad f_n=F(f_{n-1}),\quad h(x)=\sum_{k=1}^\infty\frac{x^{2k-1}}{(2k-1)!!}

と定める。ただし F:X→XF:X\to X、x∈[0,1]x\in[0,1]、n∈Nn\in\mathbb N である。ここで (2k−1)!!=(2k−1)(2k−3)⋯3⋅1(2k-1)!!=(2k-1)(2k-3)\cdots3\cdot1。

(1) d(F(f),F(g))≤d(f,g)/2d(F(f),F(g))\le d(f,g)/2 を示せ。

(2) 帰納法で fn(x)=∑k=1nx2k−1/(2k−1)!!f_n(x)=\sum_{k=1}^nx^{2k-1}/(2k-1)!! を示せ。

(3) hh は各点で絶対収束し、sup⁡0≤x≤1∣fn(x)−h(x)∣≤1/(2n−1n!)\sup_{0\le x\le1}|f_n(x)-h(x)|\le1/(2^{n-1}n!) を示せ。

(4) h∈Xh\in X、h=F(h)h=F(h) を示せ。

(5) h(x)=ex2/2∫0xe−s2/2 dsh(x)=e^{x^2/2}\int_0^xe^{-s^2/2}\,ds を示せ。

Kai​

(1)​

∣F(f)(x)−F(g)(x)∣≤∫0xs d(f,g) ds=x22d(f,g)≤12d(f,g).|F(f)(x)-F(g)(x)|\le\int_0^xs\,d(f,g)\,ds =\frac{x^2}2d(f,g)\le\frac12d(f,g).

上限をとればよい。

(2)​

f1(x)=xf_1(x)=x。n−1n-1 で成立するとき

F(fn−1)(x)=x+∑k=1n−1x2k+1(2k+1)(2k−1)!!=∑k=1nx2k−1(2k−1)!!.F(f_{n-1})(x)=x+\sum_{k=1}^{n-1}\frac{x^{2k+1}}{(2k+1)(2k-1)!!} =\sum_{k=1}^n\frac{x^{2k-1}}{(2k-1)!!}.

よって帰納法で成立する。

(3)​

(2k−1)!!≥2k−1(k−1)!(2k-1)!!\ge2^{k-1}(k-1)! なので、絶対値の級数は ∑j≥01/(2jj!)\sum_{j\ge0}1/(2^jj!) で支配される。さらに

sup⁡x∣h(x)−fn(x)∣≤∑j=n∞12jj!≤12nn!∑ℓ=0∞2−ℓ=12n−1n!.\sup_x|h(x)-f_n(x)|\le\sum_{j=n}^\infty\frac1{2^jj!} \le\frac1{2^nn!}\sum_{\ell=0}^\infty2^{-\ell}=\frac1{2^{n-1}n!}.

(4)​

(3) より連続関数列 fnf_n は hh に一様収束するので h∈Xh\in X。(1) より

d(F(h),h)≤12d(h,fn)+d(fn+1,h)⟶0.d(F(h),h)\le\frac12d(h,f_n)+d(f_{n+1},h)\longrightarrow0.

ゆえに F(h)=hF(h)=h。

(5)​

(4) と微積分の基本定理より h′=xh+1,h(0)=0h'=xh+1,h(0)=0。したがって

(e−x2/2h(x))′=e−x2/2.(e^{-x^2/2}h(x))'=e^{-x^2/2}.

00 から xx まで積分して所定の表示を得る。

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