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大阪大学 基礎工学研究科 数理科学 (システム創成専攻) 2023年度 数理科学 II [3]

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Author​

祭音Myyura (co-authored with GPT 5.6 SOL)

Description​

0<α<10<\alpha<1 とする。ε>0\varepsilon>0 に対し C±(ε)={x±iε∣x≥0}C_\pm(\varepsilon)=\{x\pm i\varepsilon\mid x\ge0\} とし、向きは実部が増加する方向とする。Log⁡z=log⁡∣z∣+iarg⁡z\operatorname{Log}z=\log|z|+i\arg z、0≤arg⁡z<2π0\le\arg z<2\pi をとり、zα−1=e(α−1)Log⁡zz^{\alpha-1}=e^{(\alpha-1)\operatorname{Log}z} と定める。

(1) f(z)=zα−1/(z+1)f(z)=z^{\alpha-1}/(z+1)、I±(ε)=∫C±(ε)f(z) dzI_\pm(\varepsilon)=\int_{C_\pm(\varepsilon)}f(z)\,dz とする。優収束定理を用いて

lim⁡ε→0I+(ε)=∫0∞xα−11+x dx,lim⁡ε→0I−(ε)=e2πi(α−1)∫0∞xα−11+x dx\lim_{\varepsilon\to0}I_+(\varepsilon)=\int_0^\infty\frac{x^{\alpha-1}}{1+x}\,dx,\qquad \lim_{\varepsilon\to0}I_-(\varepsilon)=e^{2\pi i(\alpha-1)}\int_0^\infty\frac{x^{\alpha-1}}{1+x}\,dx

を示せ。

(2) 留数定理を用いて ∫0∞xα−1/(1+x) dx\int_0^\infty x^{\alpha-1}/(1+x)\,dx を求めよ。

Kai​

(1)​

x>0x>0 に対して、上側からの偏角は 00、下側からは 2π2\pi に収束する。また α−1<0\alpha-1<0 なので

∣(x±iε)α−11+x±iε∣≤xα−11+x.\left|\frac{(x\pm i\varepsilon)^{\alpha-1}}{1+x\pm i\varepsilon}\right| \le\frac{x^{\alpha-1}}{1+x}.

右辺は原点付近で xα−1x^{\alpha-1}、無限遠で xα−2x^{\alpha-2} と比較でき、0<α<10<\alpha<1 により可積分。したがって優収束定理で二つの極限を得る。

(2)​

正の実軸を切断線とする鍵穴形の正向き閉曲線をとる。半径 rr の内円の寄与は O(rα)O(r^\alpha)、半径 RR の外円の寄与は O(Rα−1)O(R^{\alpha-1}) なので、r↓0,R↑∞r\downarrow0,R\uparrow\infty で消える。

内部の単純極 z=−1z=-1 の留数は eiπ(α−1)e^{i\pi(\alpha-1)}。上側を 0→∞0\to\infty、下側を ∞→0\infty\to0 に進むので、JJ を所定の実積分として

(1−e2πi(α−1))J=2πieiπ(α−1).(1-e^{2\pi i(\alpha-1)})J=2\pi i e^{i\pi(\alpha-1)}.

整理して J=π/sin⁡(πα)\boxed{J=\pi/\sin(\pi\alpha)}。

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