大阪大学基礎工学研究科数理科学 (システム創成専攻) 2022年度数理科学 I [4]

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祭音Myyura (co-authored with GPT 5.6 SOL)

実数値関数 $y(x)$ に対する微分方程式

y''+3y'=e^{-2x}(\sin x+2\cos x)\quad(x>0),\qquad \lim_{x\downarrow0}y(x)=-1,\quad\lim_{x\downarrow0}y'(x)=2

を考える。

(1) $\alpha\in\mathbb R$ に対し $\int_0^xe^{\alpha t}\cos t\,dt$ 、 $\int_0^xe^{\alpha t}\sin t\,dt$ を求めよ。

(2) 解 $y(x)$ を求めよ。

部分積分を二度行うと

\boxed{\int_0^xe^{\alpha t}\cos t\,dt =\frac{e^{\alpha x}(\alpha\cos x+\sin x)-\alpha}{\alpha^2+1}},

\boxed{\int_0^xe^{\alpha t}\sin t\,dt =\frac{e^{\alpha x}(\alpha\sin x-\cos x)+1}{\alpha^2+1}}.

$u=y'$ とおくと $(e^{3x}u)'=e^x(\sin x+2\cos x)$ 。 $u(0)=2$ と (1) から

u(x)=\frac12e^{-2x}(3\sin x+\cos x)+\frac32e^{-3x}.

これを積分し $y(0)=-1$ を用いると

\boxed{y(x)=-\frac12e^{-2x}(\sin x+\cos x)-\frac12e^{-3x}}.