大阪大学 基礎工学研究科 数理科学 (システム創成専攻) 2022年度 数理科学 I [2]

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• Osaka-University
• Linear-Algebra

Author

祭音Myyura (co-authored with GPT 5.6 SOL)

Description

$$A=\begin{pmatrix}1&1&1&1&2\\0&-1&0&1&-1\\1&1&2&1&3\\0&1&1&-1&2\\1&0&2&2&2\end{pmatrix}$$

とする。次の $\mathbb R^5$ の部分空間の基底を一つずつ求めよ。

(1) $U=\{Ax\mid x\in\mathbb R^5\}$。

(2) $V=\{x\mid Ax=0\}$。

(3) $U\cap V$。

(4) $W=\{x\mid A^2x=0\}$。

Kai

行基本変形により

$$\operatorname{rref}(A)=\begin{pmatrix}1&0&0&2&0\\0&1&0&-1&1\\0&0&1&0&1\\0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0\end{pmatrix}.$$

(1)

枢軸列に対応する元の第 $1,2,3$ 列から

$$\boxed{u_1=(1,0,1,0,1)^T,\quad u_2=(1,-1,1,1,0)^T,\quad u_3=(1,0,2,1,2)^T}.$$

(2)

自由変数を $x_4,x_5$ にとると、基底は

$$\boxed{v_1=(-2,1,0,1,0)^T,\qquad v_2=(0,-1,-1,0,1)^T}.$$

(3)

$u=c_1u_1+c_2u_2+c_3u_3$ に対し $Au=0$ を解くと $(c_1,c_2,c_3)=t(-9,-2,5)$。よって基底は

$$\boxed{(-6,2,-1,3,1)^T=3v_1+v_2}.$$

(4)

$w=(-9,-2,5,0,0)^T$ とおくと $Aw=3v_1+v_2$ なので $A^2w=0$。また $\operatorname{rank}(A^2)=2$ より $\dim W=3$ であり、$v_1,v_2,w$ は一次独立。ゆえに基底は

$$\boxed{\{(-2,1,0,1,0)^T,\ (0,-1,-1,0,1)^T,\ (-9,-2,5,0,0)^T\}}.$$