大阪大学 基礎工学研究科 数理科学 (システム創成専攻) 2022年度 数理科学 I [1]

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• Calculus

Author

祭音Myyura (co-authored with GPT 5.6 SOL)

Description

$n$ を非負整数とする。

(1) $\int_0^{\pi/2}\cos^n x\,dx$ を求めよ。

(2) $\iint_{x^2+y^2\le2x}x^n\,dx\,dy$ を求めよ。

Kai

(1)

$J_n=\int_0^{\pi/2}\cos^n x\,dx$ とおく。部分積分より $J_n=(n-1)J_{n-2}/n$ ($n\ge2$)。$J_0=\pi/2,J_1=1$ から

$$\boxed{J_{2k}=\frac{(2k)!}{2^{2k}(k!)^2}\frac\pi2,\qquad J_{2k+1}=\frac{2^{2k}(k!)^2}{(2k+1)!}}\quad(k\ge0).$$

(2)

極座標では $-\pi/2\le\theta\le\pi/2,0\le r\le2\cos\theta$。したがって

$$\begin{aligned} \iint x^n\,dx\,dy &=\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\int_0^{2\cos\theta}r^{n+1}\cos^n\theta\,dr\,d\theta\\ &=\frac{2^{n+3}}{n+2}J_{2n+2} =\boxed{\frac{\pi(2n+2)!}{2^n(n+2)((n+1)!)^2}}. \end{aligned}$$