大阪大学 基礎工学研究科 数理科学 (システム創成専攻) 2022年度 数理科学 II [8]

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• Osaka-University
• Estimation-and-Hypothesis-Testing
• Probability-Distributions-and-Asymptotics

Author

祭音Myyura (co-authored with GPT 5.6 SOL)

Description

$n$ は正の整数、$\mu$ は実数とする。$X_1,\ldots,X_n$ は独立な実数値の $N(\mu,1)$ 変数とし、その分布を $P_\mu$ と表す。$\overline X_n=n^{-1}\sum_iX_i$、標準正規分布関数を $\Phi$ とし、

$$F_\mu(x)=P_\mu(\overline X_n\le x\mid\sqrt n\overline X_n>1.96)$$

と定める。対応する密度を $f_\mu$ とする。

(1) $F_\mu$ を $\Phi$ で表せ。

(2) $x_2>x_1>1.96/\sqrt n$、$\mu_2>\mu_1$ に対し $f_{\mu_2}(x_2)/f_{\mu_1}(x_2)>f_{\mu_2}(x_1)/f_{\mu_1}(x_1)$ を示せ。

(3) $x>1.96/\sqrt n$、$\mu_2>\mu_1$ に対し

$$\{1-F_{\mu_2}(x)\}F_{\mu_1}(x)>\{1-F_{\mu_1}(x)\}F_{\mu_2}(x)$$

を示せ。

(4) $0<\alpha<1$ とする。$\mu\le0$ なら $P_\mu(\sqrt n\overline X_n\ge c_\alpha\mid\sqrt n\overline X_n>1.96)\le\alpha$、$\mu>0$ なら同確率が $\alpha$ より大きくなるような $c_\alpha$ を $\Phi$ とその逆関数 $\Phi^{-1}$ を用いて表せ。

Kai

(1)

$a=1.96/\sqrt n$ とおく。

$$\boxed{F_\mu(x)=\begin{cases} 0&x\le a,\\ \dfrac{\Phi(\sqrt n(x-\mu))-\Phi(\sqrt n(a-\mu))}{1-\Phi(\sqrt n(a-\mu))}&x>a. \end{cases}}$$

(2)

$x>a$ において、$x$ に依存しない正定数 $C$ を用いて

$$\frac{f_{\mu_2}(x)}{f_{\mu_1}(x)} =C\exp\left(n(\mu_2-\mu_1)x-\frac n2(\mu_2^2-\mu_1^2)\right).$$

$\mu_2-\mu_1>0$ より狭義単調増加である。

(3)

$a<s<x<t$ に対して (2) より

$$f_{\mu_2}(t)f_{\mu_1}(s)>f_{\mu_1}(t)f_{\mu_2}(s).$$

$s\in(a,x),t\in(x,\infty)$ 上で二重積分すれば所定の不等式を得る。これは $F_{\mu_2}(x)<F_{\mu_1}(x)$ と同値である。

(4)

$\mu=0$ で条件付き上側確率を $\alpha$ にすれば、(3) の狭義単調性により両条件を満たす。

$$\frac{1-\Phi(c_\alpha)}{1-\Phi(1.96)}=\alpha$$

を解いて

$$\boxed{c_\alpha=\Phi^{-1}\!\left(1-\alpha\{1-\Phi(1.96)\}\right)}.$$