大阪大学基礎工学研究科数理科学 (システム創成専攻) 2022年度数理科学 II [4]

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祭音Myyura (co-authored with GPT 5.6 SOL)

$n$ を自然数とし、 $\mathcal M_n$ を $n$ 次実正方行列全体とする。 $y=(y_1,\ldots,y_n)^T\in\mathbb R^n$ に対し $|y|=(\sum_{j=1}^ny_j^2)^{1/2}$ と定め、このユークリッドノルムを用いて

\|A\|=\sup_{|x|=1}|Ax|,\qquad d(A,B)=\|A-B\|

と定める。 $O,I$ は零行列と単位行列である。

(1) $d$ が距離であることを示せ。

(2) $\|AB\|\le\|A\|\|B\|$ を示せ。

(3) $\|A\|<1$ とし、 $B_k=I+\sum_{j=1}^kA^j$ とおく。(a) $A^k\to O$ 、(b) $B_k$ の極限が存在して $(I-A)^{-1}$ に等しいことを示せ。 $(\mathcal M_n,d)$ の完備性は用いてよい。

単位球面はコンパクトなので $\|A\|$ は有限。非負性・対称性は明らかである。 $\|A-B\|=0$ なら各標準基底 $e_j$ に対して $(A-B)e_j=0$ 、ゆえに $A=B$ 。

また $|(A-C)x|\le|(A-B)x|+|(B-C)x|$ について $|x|=1$ の上限をとると三角不等式を得る。

任意の $y$ について $|Ay|\le\|A\||y|$ 。よって $|ABx|\le\|A\|\|B\||x|$ であり、 $|x|=1$ の上限をとればよい。

$r=\|A\|<1$ とおく。

(a) (2) より $\|A^k\|\le r^k\to0$ 。

(b) $\ell>k$ なら

\|B_\ell-B_k\|\le\sum_{j=k+1}^\ell r^j\le\frac{r^{k+1}}{1-r}\to0.

完備性より $B_k\to B$ が存在する。一方

(I-A)B_k=B_k(I-A)=I-A^{k+1}\longrightarrow I.

(2) により行列積は連続なので $(I-A)B=B(I-A)=I$ 。ゆえに $B=(I-A)^{-1}$ 。