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大阪大学 基礎工学研究科 数理科学 (システム創成専攻) 2022年度 数理科学 II [3]

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Author​

祭音Myyura (co-authored with GPT 5.6 SOL)

Description​

(1) 実数値関数列 fnf_n は、ある M>0M>0 に対して ∣fn+1(x)∣≤M∣fn(x)∣|f_{n+1}(x)|\le M|f_n(x)| を全 x∈R,n≥1x\in\mathbb R,n\ge1 で満たす。各 xx に対して ∑n=1∞fn(x)/n!\sum_{n=1}^\infty f_n(x)/n! が収束することを示せ。

(2)

gn(x)={(−1)n/2∫0xtn dtn は偶数,(−1)(n−1)/2∫0xtn dtn は奇数g_n(x)=\begin{cases}(-1)^{n/2}\int_0^xt^n\,dt&n\text{ は偶数},\\ (-1)^{(n-1)/2}\int_0^xt^n\,dt&n\text{ は奇数}\end{cases}

とする。∑n=1∞gn(π/2)/n!\sum_{n=1}^\infty g_n(\pi/2)/n! を求めよ。

Kai​

(1)​

帰納法より ∣fn(x)∣≤Mn−1∣f1(x)∣|f_n(x)|\le M^{n-1}|f_1(x)|。よって

∑n=1∞∣fn(x)∣n!≤∣f1(x)∣M(eM−1)<∞.\sum_{n=1}^\infty\frac{|f_n(x)|}{n!} \le\frac{|f_1(x)|}{M}(e^M-1)<\infty.

(2)​

正弦・余弦の級数は [0,π/2][0,\pi/2] 上一様収束するから項別積分できる。偶数 n≥2n\ge2 の和が cos⁡t−1\cos t-1、奇数 n≥1n\ge1 の和が sin⁡t\sin t を与えるので

∑n=1∞gn(π/2)n!=∫0π/2(cos⁡t−1+sin⁡t) dt=2−π2.\sum_{n=1}^\infty\frac{g_n(\pi/2)}{n!} =\int_0^{\pi/2}(\cos t-1+\sin t)\,dt =\boxed{2-\frac\pi2}.
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