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大阪大学 基礎工学研究科 数理科学 (システム創成専攻) 2022年度 数理科学 II [2]

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Author​

祭音Myyura (co-authored with GPT 5.6 SOL)

Description​

(1) α\alpha を非負の実数とする。各正の整数 nn に対し

φn(x)=∫x∞e−αt(x3+t3)n dt(x>0)\varphi_n(x)=\int_x^\infty\frac{e^{-\alpha t}}{(x^3+t^3)^n}\,dt\quad(x>0)

と定める。φn′(x)=−e−αx2−nx−3n−3nx2φn+1(x)\varphi_n'(x)=-e^{-\alpha x}2^{-n}x^{-3n}-3nx^2\varphi_{n+1}(x) を示せ。

(2) ∫1∞(x3+1)−3 dx\int_1^\infty(x^3+1)^{-3}\,dx を求めよ。

Kai​

(1)​

xx を任意のコンパクト区間 [a,b]⊂(0,∞)[a,b]\subset(0,\infty) に制限すると、被積分関数の xx 偏微分は可積分な定数倍の (a3+t3)−n−1(a^3+t^3)^{-n-1} で支配される。したがって積分下の微分ができ、

φn′(x)=−e−αx(2x3)n+∫x∞−3nx2e−αt(x3+t3)n+1 dt=−e−αx2−nx−3n−3nx2φn+1(x).\begin{aligned} \varphi_n'(x) &=-\frac{e^{-\alpha x}}{(2x^3)^n} +\int_x^\infty\frac{-3nx^2e^{-\alpha t}}{(x^3+t^3)^{n+1}}\,dt\\ &=-e^{-\alpha x}2^{-n}x^{-3n}-3nx^2\varphi_{n+1}(x). \end{aligned}

(2)​

Cn=∫1∞(1+t3)−n dtC_n=\int_1^\infty(1+t^3)^{-n}\,dt とおく。α=0\alpha=0 として t=xut=xu と変換すると φn(x)=x1−3nCn\varphi_n(x)=x^{1-3n}C_n。 (1) より

Cn+1=(3n−1)Cn−2−n3n.C_{n+1}=\frac{(3n-1)C_n-2^{-n}}{3n}.

部分分数分解から C1=π/(33)−log⁡2/3C_1=\pi/(3\sqrt3)-\log2/3。したがって

C2=23C1−16,C3=59C1−1372=5π273−5log⁡227−1372.C_2=\frac23C_1-\frac16,\qquad \boxed{C_3=\frac59C_1-\frac{13}{72}=\frac{5\pi}{27\sqrt3}-\frac{5\log2}{27}-\frac{13}{72}}.
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