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大阪大学 基礎工学研究科 数理科学 (システム創成専攻) 2022年度 数理科学 II [1]

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Author​

祭音Myyura (co-authored with GPT 5.6 SOL)

Description​

α,β∈R\alpha,\beta\in\mathbb R とする。次の広義積分が収束するための必要十分条件を求めよ。

(1) ∫0∞x−α(1+x)−β dx\int_0^\infty x^{-\alpha}(1+x)^{-\beta}\,dx。

(2) ∫0∞x−α(1+x)−βlog⁡(1+x) dx\int_0^\infty x^{-\alpha}(1+x)^{-\beta}\log(1+x)\,dx。

Kai​

(1)​

x↓0x\downarrow0 で被積分関数は x−αx^{-\alpha} と同値、x→∞x\to\infty で x−α−βx^{-\alpha-\beta} と同値。したがって

α<1,α+β>1.\boxed{\alpha<1,\qquad\alpha+\beta>1}.

(2)​

原点では log⁡(1+x)∼x\log(1+x)\sim x なので x1−αx^{1-\alpha} と比較し、条件は α<2\alpha<2。

無限遠では x−α−βlog⁡xx^{-\alpha-\beta}\log x と比較する。この積分は α+β>1\alpha+\beta>1 のときのみ収束する（等号でも発散）。ゆえに

α<2,α+β>1.\boxed{\alpha<2,\qquad\alpha+\beta>1}.
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