大阪大学 基礎工学研究科 数理科学 (システム創成専攻) 2021年度 数理科学 I [3]

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• Complex-Analysis

Author

祭音Myyura (co-authored with GPT 5.6 SOL)

Description

$a\in\mathbb C$、$\rho>0$ とする。領域 $D=\{z\in\mathbb C:0<|z-a|<\rho\}$ で正則な関数 $f(z)$ の $z=a$ のまわりのローラン展開とは、$D$ において $f(z)=\sum_{n=-\infty}^\infty a_n(z-a)^n$、$a_n\in\mathbb C$ と表すことである。

(1) $g(z)=\sin(1/z)$ を $z=0$ のまわりでローラン展開せよ。

(2) $h(z)=\sin(1/z)/(1-z^2)$ を $z=0$ のまわりでローラン展開せよ。

(3) 円 $|z|=1/2$ を反時計回りに一周する $C$ に沿って $\int_Ch(z)\,dz$ を求めよ。

Kai

(1)

正弦のべき級数に $1/z$ を代入して

$$\boxed{g(z)=\sum_{k=0}^\infty\frac{(-1)^k}{(2k+1)!}z^{-(2k+1)}}\qquad(z\ne0).$$

(2)

$0<|z|<1$ で $1/(1-z^2)=\sum_{j=0}^\infty z^{2j}$。絶対収束する二重級数の同じ次数を集めると

$$\boxed{h(z)=\sum_{r=0}^\infty\left(\sum_{k=r}^\infty\frac{(-1)^k}{(2k+1)!}\right)z^{-(2r+1)} +\sin1\sum_{j=0}^\infty z^{2j+1}}.$$

偶数次数の係数はすべて $0$ である。

(3)

$z^{-1}$ の係数は $\sum_{k=0}^\infty(-1)^k/(2k+1)!=\sin1$。ゆえに

$$\boxed{\int_Ch(z)\,dz=2\pi i\sin1}.$$