大阪大学 基礎工学研究科 数理科学 (システム創成専攻) 2021年度 数理科学 II [8]

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• Probability-Distributions-and-Asymptotics

Author

祭音Myyura (co-authored with GPT 5.6 SOL)

Description

$n$ は2以上の整数、$0<p<1$、$q=1-p$ とする。独立な $X_1,\ldots,X_n$ はベルヌーイ分布 $B(p)$ に従い、

$$\overline X_n=\frac1n\sum X_i,\quad S_n^2=\frac1n\sum(X_i-\overline X_n)^2,\quad T_n=\overline X_n(1-\overline X_n)$$

とおく。

(1) $E[S_n^2],E[T_n]$ を求めよ。

(2) $S_n^2-pq=(1-\overline X_n-p)(\overline X_n-p)$ を示せ。

(3) $p\ne1/2$ のとき $\sqrt n(S_n^2-pq)$ の漸近分布を求めよ。

(4) $p=1/2$ のとき $-4n(S_n^2-1/4)$ の漸近分布を求めよ。

Kai

(1)

$X_i^2=X_i$ より $S_n^2=\overline X_n-\overline X_n^2=T_n$。したがって

$$\boxed{E[S_n^2]=E[T_n]=\frac{n-1}{n}pq}.$$

(2)

$$S_n^2-pq=(\overline X_n-p)-(\overline X_n^2-p^2) =(1-\overline X_n-p)(\overline X_n-p).$$

(3)

中心極限定理から $\sqrt n(\overline X_n-p)\Rightarrow N(0,pq)$。また $1-\overline X_n-p\xrightarrow{P}1-2p$ なので

$$\boxed{\sqrt n(S_n^2-pq)\Rightarrow N(0,pq(1-2p)^2)}.$$

(4)

(2) より $-4n(S_n^2-1/4)=[2\sqrt n(\overline X_n-1/2)]^2$。角括弧内は標準正規分布に分布収束するので

$$\boxed{-4n(S_n^2-1/4)\Rightarrow\chi^2_1}.$$