大阪大学 基礎工学研究科 数理科学 (システム創成専攻) 2021年度 数理科学 II [7]

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Author

祭音Myyura (co-authored with GPT 5.6 SOL)

Description

$n$ は2以上の整数とし、$\mu,\gamma$ は $\mu\ne0,\gamma>0$ を満たす実数とする。独立な実数値確率変数 $X_1,\ldots,X_n$ は平均 $\mu$、分散 $\gamma/\mu^2$ の正規分布に従う。パラメータ空間は $\Theta=\{(\mu,\gamma)\in\mathbb R^2\mid\mu\ne0,\gamma>0\}$ である。

(1) $(\mu,\gamma)$ の最尤推定量 $(\widehat\mu_n,\widehat\gamma_n)$ を求めよ。

(2) 任意の $(\mu,\gamma)\in\Theta$、$\varepsilon>0$ に対して

$$P(|\widehat\mu_n-\mu|+|\widehat\gamma_n-\gamma|>\varepsilon)\longrightarrow0$$

を示せ。

Kai

(1)

$\sigma^2=\gamma/\mu^2$ と再パラメータ化する。$\overline X_n=n^{-1}\sum X_i$、$S_n^2=n^{-1}\sum(X_i-\overline X_n)^2$ とおく。正規分布の尤度最大化より

$$\boxed{\widehat\mu_n=\overline X_n,\qquad\widehat\gamma_n=\overline X_n^2S_n^2}.$$

$n\ge2$ では $\overline X_n\ne0,S_n^2>0$ が確率 $1$ で成立するので、この組はほとんど確実に $\Theta$ に属する。

(2)

大数の法則により

$$\overline X_n\xrightarrow{P}\mu,\qquad S_n^2=\frac1n\sum X_i^2-\overline X_n^2\xrightarrow{P}\frac\gamma{\mu^2}.$$

連続写像定理から $\widehat\gamma_n\xrightarrow{P}\gamma$。したがって

$$P(|\widehat\mu_n-\mu|+|\widehat\gamma_n-\gamma|>\varepsilon) \le P(|\widehat\mu_n-\mu|>\varepsilon/2)+P(|\widehat\gamma_n-\gamma|>\varepsilon/2)\to0.$$