大阪大学 基礎工学研究科 数理科学 (システム創成専攻) 2021年度 数理科学 II [2]

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Author

祭音Myyura (co-authored with GPT 5.6 SOL)

Description

$$\lim_{n\to\infty}\int_0^\infty\frac{dx}{(1+x^3)(1+x^n)}$$

を求めよ。

Kai

$x\ne1$ において $1/(1+x^n)$ は $0<x<1$ で $1$、$x>1$ で $0$ に収束する。また被積分関数は可積分関数 $(1+x^3)^{-1}$ で支配される。優収束定理より極限は

$$\int_0^1\frac{dx}{1+x^3}.$$

部分分数分解

$$\frac1{1+x^3}=\frac1{3(x+1)}+\frac{-x+2}{3(x^2-x+1)}$$

を積分して

$$\boxed{\frac{\log2}{3}+\frac\pi{3\sqrt3}}.$$