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大阪大学 基礎工学研究科 数理科学 (システム創成専攻) 2019年8月実施 数理科学 I [6]

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Author​

Miyake

Description​

题目描述​

原文题干缺失。设 nn 为正整数，0<p<10<p<1，并令 β=1−pp.\beta=\frac{1-p}{p}. 随机变量 YY 服从形状参数 nn、率参数 β\beta 的 Gamma 分布：

fY(y)=βn(n−1)!yn−1e−βy,y>0.f_Y(y)=\frac{\beta^n}{(n-1)!}y^{n-1}e^{-\beta y},\qquad y>0.

在给定 Y=yY=y 时，XX 服从均值为 yy 的 Poisson 分布：

P(X=x∣Y=y)=yxx!e−y,x=0,1,….P(X=x\mid Y=y)=\frac{y^x}{x!}e^{-y},\qquad x=0,1,\ldots.
  1. 对 YY 积分求 XX 的边缘分布，并证明它为
    P(X=x)=(x+n−1x)px(1−p)n.P(X=x)=\binom{x+n-1}{x}p^x(1-p)^n.
  2. 求 E[X]E[X]。
  3. 求条件期望 E[Y∣X=x]E[Y\mid X=x]。

考点​

  • Gamma–Poisson 混合：积分消去随机强度得到负二项分布。
  • Gamma 函数：使用 Γ(n)=(n−1)!\Gamma(n)=(n-1)! 计算积分。
  • 负二项分布的期望：通过级数重排或已知母函数求均值。
  • Bayes 后验与共轭性：识别给定计数后的 Gamma 后验并求其均值。

Kai​

(1)​

まず、

Γ(1)=∫0∞e−xdx=−[e−x]0∞=1 \begin{aligned} \Gamma(1) = \int_0^\infty e^{-x} dx = - \left[ e^{-x} \right]_0^\infty = 1 \end{aligned}

であるから、 nΓ(n)=Γ(n+1)n \Gamma(n) = \Gamma(n+1) と合わせて、

Γ(n)=(n−1)! \begin{aligned} \Gamma(n) = (n-1)! \end{aligned}

がわかる。

そこで、次のように計算できる：

P(X=x)=∫0∞P(X=x∣Y=y)f(y)dy=∫0∞yxx!e−y1(n−1)!βnyn−1e−βydy=βnx!(n−1)!∫0∞yx+n−1e−(β+1)ydy=1x!(n−1)!(1−pp)n∫0∞yx+n−1e−y/pdy=1x!(n−1)!(1−pp)npx+n∫0∞zx+n−1e−zdz        (z=y/p)=(x+n−1)!x!(n−1)!px(1−p)n=(x+n−1x)px(1−p)n. \begin{aligned} P(X=x) &= \int_0^\infty P(X=x | Y=y) f(y) dy \\ &= \int_0^\infty \frac{y^x}{x!} e^{-y} \frac{1}{(n-1)!} \beta^n y^{n-1} e^{- \beta y} dy \\ &= \frac{\beta^n}{x! (n-1)!} \int_0^\infty y^{x+n-1} e^{- (\beta + 1) y} dy \\ &= \frac{1}{x! (n-1)!} \left( \frac{1-p}{p} \right)^n \int_0^\infty y^{x+n-1} e^{- y/p} dy \\ &= \frac{1}{x! (n-1)!} \left( \frac{1-p}{p} \right)^n p^{x+n} \int_0^\infty z^{x+n-1} e^{- z} dz \ \ \ \ \ \ \ \ (z = y/p) \\ &= \frac{(x+n-1)!}{x! (n-1)!} p^x (1-p)^n \\ &= \begin{pmatrix} x+n-1 \\ x \end{pmatrix} p^x (1-p)^n . \end{aligned}

(2)​

XX の期待値 E(X)E(X) は次のように計算できる：

E(X)=∑x=0∞xP(X=x)=∑x=0∞x(x+n−1)!x!(n−1)!px(1−p)n=∑x=1∞(x+n−1)!(x−1)!(n−1)!px(1−p)n=∑z=0∞(z+n)!z!(n−1)!pz+1(1−p)n        (z=x−1)=np1−p∑z=0∞(z+n)!z! n!pz(1−p)n+1=np1−p. \begin{aligned} E(X) &= \sum_{x=0}^\infty x P(X=x) \\ &= \sum_{x=0}^\infty x \frac{(x+n-1)!}{x! (n-1)!} p^x (1-p)^n \\ &= \sum_{x=1}^\infty \frac{(x+n-1)!}{(x-1)! (n-1)!} p^x (1-p)^n \\ &= \sum_{z=0}^\infty \frac{(z+n)!}{z! (n-1)!} p^{z+1} (1-p)^n \ \ \ \ \ \ \ \ (z=x-1) \\ &= \frac{np}{1-p} \sum_{z=0}^\infty \frac{(z+n)!}{z! \ n!} p^z (1-p)^{n+1} \\ &= \frac{np}{1-p} . \end{aligned}

(3)​

求める条件付き期待値 E(Y∣X=x)E(Y|X=x) は次のように計算できる：

E(Y∣X=x)=∫0∞yP(X=x∣Y=y)f(y)P(X=x)dy=∫0∞yyxx!e−y1(n−1)!βnyn−1e−βy(x+n−1)!x!(n−1)!px(1−p)ndy=βn(x+n−1)! px(1−p)n∫0∞yx+ne−y/pdy=βnpx+n+1(x+n−1)! px(1−p)n∫0∞zx+ne−zdz        (z=y/p)=px+n+1(x+n−1)! px(1−p)n(1−pp)n(x+n)!=(x+n)p. \begin{aligned} E(Y|X=x) &= \int_0^\infty y \frac{P(X=x | Y=y) f(y)}{P(X=x)} dy \\ &= \int_0^\infty y \frac{\frac{y^x}{x!} e^{-y} \frac{1}{(n-1)!} \beta^n y^{n-1} e^{- \beta y}} {\frac{(x+n-1)!}{x!(n-1)!} p^x (1-p)^n} dy \\ &= \frac{\beta^n}{(x+n-1)! \ p^x (1-p)^n} \int_0^\infty y^{x+n} e^{-y/p} dy \\ &= \frac{\beta^n p^{x+n+1}}{(x+n-1)! \ p^x (1-p)^n} \int_0^\infty z^{x+n} e^{-z} dz \ \ \ \ \ \ \ \ (z=y/p) \\ &= \frac{p^{x+n+1}}{(x+n-1)! \ p^x (1-p)^n} \left( \frac{1-p}{p} \right)^n (x+n)! \\ &= (x+n) p . \end{aligned}
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