大阪大学 基礎工学研究科 数理科学 (システム創成専攻) 2019年8月実施 数理科学 I [4]

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Author

Miyake

Description

题目描述

原文题干缺失。考虑初值问题

$$y'(x)-2xy(x)=2x^3,\qquad y(0)=0,$$

并设其原点附近的幂级数解为 $y(x)=\sum_{k=0}^\infty C_kx^k.$

1. 将级数代入方程，求 $C_0,C_1,C_2,C_3,C_4$。
2. 证明所有奇数项系数均为零。
3. 求偶数项系数的一般公式。
4. 求和得到 $y(x)$ 的闭式表达式，并验证其满足方程与初值。

考点

• 幂级数解法：逐项求导、乘以 $x$ 并比较同次幂系数。
• 系数递推：分别处理奇、偶下标序列。
• 指数级数识别：把偶次幂和识别为 $e^{x^2}$ 的截尾形式。
• 一阶线性微分方程：可用积分因子验证闭式结果。

Kai

(1)

まず、 $y(0)=0$ から $C_0=0$ がわかる。 よって、

$$\begin{aligned} y(x) &= \sum_{k=1}^\infty C_k x^k \\ \frac{dy(x)}{dx} &= \sum_{k=1}^\infty k C_k x^{k-1} \end{aligned}$$

となる。 これを与えられた微分方程式に代入すると、

$$\begin{align} \sum_{k=1}^\infty k C_k x^{k-1} + \sum_{k=1}^\infty (-2 C_k) x^{k+1} = 2x^3 \tag{A} \end{align}$$

となる。

($A$)式の定数項に注目すると、 $1 C_1 = 0$ であるから、 $C_1=0$ がわかる。

($A$)式の $x$ の項に注目すると、 $2C_2=0$ であるから、 $C_2=0$ がわかる。

($A$)式の $x^2$ の項に注目すると、 $3C_3-2C_1=0$ であるから、 $C_1=0$ より $C_3=0$ がわかる。

($A$)式の $x^3$ の項に注目すると、 $4C_4-2C_2=2$ であるから、 $C_2=0$ より $C_4=1/2$ がわかる。

(2)

$j$ を非負の整数とする。 ($A$)式の $x^{2j+2}$ の項に注目すると、

$$\begin{aligned} (2j+3) C_{2j+3} - 2 C_{2j+1} &= 0 \end{aligned} \begin{aligned} \therefore \ \ C_{2j+3} &= \frac{2}{2j+3} C_{2j+1} \end{aligned}$$

がわかる。 さらに $C_1=0$ であるから、

$$\begin{aligned} C_{2j+1} &= 0 \end{aligned}$$

がわかる。

(3)

$j$ を $2$ 以上の整数とする。 ($A$)式の $x^{2j+1}$ の項に注目すると、

$$\begin{aligned} (2j+2) C_{2j+2} - 2 C_{2j} &= 0 \end{aligned} \begin{aligned} \therefore \ \ C_{2j+2} &= \frac{1}{j+1} C_{2j} \end{aligned}$$

がわかる。 さらに $C_4=1/2$ であるから、

$$\begin{aligned} C_{2j} &= \frac{1}{j!} \end{aligned}$$

がわかる。

(4)

(1), (2), (3) より、

$$\begin{aligned} y(x) &= \sum_{j=2}^\infty \frac{1}{j!} x^{2j} \\ &= \sum_{j=0}^\infty \frac{1}{j!} \left( x^2 \right)^j - \left( 1 + x^2 \right) \\ &= \exp \left( x^2 \right) - x^2 - 1 \end{aligned}$$

を得る。 これが与えられた微分方程式と条件を満たすことも確かめられる。