大阪大学 基礎工学研究科 数理科学 (システム創成専攻) 2019年8月実施 数理科学 II [5]

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• Functional-Analysis

Author

祭音Myyura (co-authored with GPT 5.6 SOL)

Description

$X=C([0,1],\mathbb R)$、$d(f,g)=\max_{x\in[0,1]}|f(x)-g(x)|$ とする。

$$A=\{f\in X\mid f(x)\le f(y)\ (0\le x\le y\le1)\},$$

$$B=\{f\in X\mid f(x)<f(y)\ (0\le x<y\le1)\}$$

とし、$P\subset X$ を $[0,1]$ 上の多項式全体とする。

(1) $A$ が閉集合であることを証明せよ。

(2) $B$ が開集合でも閉集合でもないことを証明せよ。

(3) 制限距離 $d|_P$ に関して $P$ は完備か。証明を付けて答えよ。

Kai

(1)

$f_n\in A$ が $f\in X$ に一様収束するとする。$x\le y$ に対し $f_n(x)\le f_n(y)$ の極限をとると $f(x)\le f(y)$。ゆえに $f\in A$ であり、$A$ は閉集合。

(2)

$f_n(x)=x/n\in B$ は零関数へ一様収束するが、零関数は $B$ に属さない。よって閉集合ではない。

また $f(x)=x\in B$ に対し、$0<\delta<1$ として $g_\delta(x)=\max(x-\delta,0)$ とおく。$d(f,g_\delta)\le\delta$ だが $g_\delta$ は $[0,\delta]$ 上一定なので $B$ に属さない。したがって $B$ は開集合ではない。

(3)

完備ではない。多項式 $p_n(x)=\sum_{k=0}^nx^k/k!$ は $e^x$ に一様収束するのでコーシー列である。もし $P$ 内に極限 $p$ があれば極限の一意性より $p=e^x$ となるが、$e^x$ は多項式ではない。