大阪大学基礎工学研究科数理科学 (システム創成専攻) 2019年8月実施数理科学 II [3]

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祭音Myyura (co-authored with GPT 5.6 SOL)

$\{c_k\}_{k=0}^\infty$ を実数列とする。

(1) $\sum_{k=0}^\infty|c_k|<\infty$ ならば $\sum_{k=0}^\infty c_k\cos kx$ は各 $x\in\mathbb R$ で収束し、その和は連続であることを示せ。

(2) $\sum_{k=0}^\infty k|c_k|<\infty$ ならば同級数は各 $x\in\mathbb R$ で収束し、その和は連続的微分可能であることを示せ。

$|c_k\cos kx|\le|c_k|$ なので、Weierstrass の M 判定法により $\mathbb R$ 上一様収束する。各項は連続であり、一様極限も連続である。

$\sum_{k\ge1}|c_k|\le\sum_{k\ge1}k|c_k|<\infty$ だから元の級数は一様収束する。また

|-kc_k\sin kx|\le k|c_k|

より導関数の級数も一様収束する。項別微分定理から、和 $F$ は

F'(x)=-\sum_{k=1}^\infty kc_k\sin kx

を満たし、右辺は連続である。ゆえに $F\in C^1(\mathbb R)$ 。