大阪大学基礎工学研究科数理科学 (システム創成専攻) 2018年8月実施数理科学 I [5]

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原文题干缺失。设随机变量 $X_1,\ldots,X_n$ 满足

E[X_i]=\mu,\qquad V[X_i]=\sigma^2,\qquad \operatorname{Cov}(X_i,X_j)=\theta\quad(i\ne j).

对系数向量 $\alpha=(\alpha_1,\ldots,\alpha_n)$ ，定义线性统计量 $T(\alpha)=\sum_{i=1}^n\alpha_iX_i.$

\begin{aligned} E [ T(\alpha) ] &= \sum_{i=1}^n \alpha_i E[X_i] \\ &= \mu \sum_{i=1}^n \alpha_i \\ \text{Cov} [ T(\alpha), T(\beta) ] &= \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \alpha_i \beta_j \text{Cov} [X_i, X_j] \\ &= \sum_{i=1}^n \alpha_i \beta_i V [X_i] + \sum_{i \neq j} \alpha_i \beta_j \text{Cov} [X_i, X_j] \\ &= \sigma^2 \sum_{i=1}^n \alpha_i \beta_i + \theta \sum_{i \neq j} \alpha_i \beta_j \\ &= \left( \sigma^2 - \theta \right) \sum_{i=1}^n \alpha_i \beta_i + \theta \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \alpha_i \beta_j \\ &= \left( \sigma^2 - \theta \right) \sum_{i=1}^n \alpha_i \beta_i + \theta \sum_{i=1}^n \alpha_i \sum_{j=1}^n \beta_j \end{aligned}

\begin{aligned} V[T(\alpha)] &= \text{Cov} [ T(\alpha), T(\alpha) ] \\ &= \left( \sigma^2 - \theta \right) \sum_{i=1}^n \alpha_i^2 + \theta \sum_{i=1}^n \alpha_i \sum_{j=1}^n \alpha_j \\ &= \left( \sigma^2 - \theta \right) \sum_{i=1}^n \alpha_i^2 + \theta \left\{ \sum_{i=1}^n \alpha_i \right\}^2 \end{aligned}

$T(\alpha)$ が $\mu$ の不偏推定量であるための条件は、(1) より、

\begin{aligned} \sum_{i=1}^n \alpha_i = 1 \end{aligned}

であり、このとき、

\begin{aligned} V[T(\alpha)] = \left( \sigma^2 - \theta \right) \sum_{i=1}^n \alpha_i^2 + \theta \end{aligned}

となる。

これを最小化するために、ラグランジュの未定乗数 $\lambda$ を導入して、

\begin{aligned} f(\alpha) = \sum_{i=1}^n \alpha_i^2 - \lambda \sum_{i=1}^n \alpha_i \end{aligned}

を考えると、

\begin{aligned} \frac{\partial f}{\partial \alpha_i} = 2 \alpha_i - \lambda \end{aligned}

であるから、

\begin{aligned} \alpha_1 = \alpha_2 = \cdots = \alpha_n = \frac{1}{n} , \ \ \lambda = \frac{2}{n} \end{aligned}

のとき、 $f(\alpha)$ したがって $V[T(\alpha)]$ が最小になる。

このとき、

\begin{aligned} V[T(\alpha)] &= \left( \sigma^2 - \theta \right) \cdot \frac{1}{n} + \theta \\ &= \frac{\sigma^2 + (n-1) \theta}{n} \end{aligned}

である。