大阪大学 基礎工学研究科 数理科学 (システム創成専攻) 2018年8月実施 数理科学 I [4]

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• 大阪大学
• 常微分方程组
• 高阶线性常微分方程
• 无穷远处的边界条件

Author

Miyake

Description

参考問題

$t>0$ で実関数 $x(t),y(t)$ が

$$x''(t)=-2y(t),\qquad y''(t)=2x(t)-2$$

を満たし、境界条件が

$$\lim_{t\downarrow0}x(t)=0,\quad\lim_{t\to\infty}x(t)=1,\quad \lim_{t\downarrow0}y(t)=0,\quad\lim_{t\to\infty}y(t)=0$$

である場合を考える。

1. $y''(t)$ の $t\downarrow0$ と $t\to\infty$ における極限を求める。
2. $x$ を消去して $y^{(4)}+4y=0$ を導く。
3. この四階方程式の特性根を求める。
4. 境界条件を満たす実数値の解 $x(t),y(t)$ を求める。

题目描述

实函数 $x(t),y(t)$（$t>0$）满足

$$x''(t)=-2y(t),\qquad y''(t)=2x(t)-2,$$

以及边界条件

$$\lim_{t\downarrow0}x(t)=0,\quad \lim_{t\to\infty}x(t)=1,\quad \lim_{t\downarrow0}y(t)=0,\quad \lim_{t\to\infty}y(t)=0.$$

1. 求 $y''(t)$ 在 $t\downarrow0$ 与 $t\to\infty$ 时的极限。
2. 消去 $x(t)$，证明 $y$ 满足四阶方程 $y^{(4)}+4y=0.$
3. 求该四阶方程的特征根。
4. 利用边界条件求 $x(t),y(t)$ 的实值解。

Kai

(1)

$$\begin{aligned} \lim_{t \ \downarrow \ 0} \frac{d^2 y(t)}{dt^2} &= \lim_{t \ \downarrow \ 0} \left( 2 x(t) - 2 \right) = -2 \\ \lim_{t \to \infty} \frac{d^2 y(t)}{dt^2} &= \lim_{t \to \infty} \left( 2 x(t) - 2 \right) = 0 \end{aligned}$$

(2)

(D) の2番目の式を $t$ で2回微分して、1番目の式を使うと、

$$\begin{aligned} \frac{d^4 y(t)}{dt^4} - 2 \cdot \left( - 2 y(t) \right) &= 0 \\ \therefore \ \ \frac{d^4 y(t)}{dt^4} + 4 y(t) &= 0 \end{aligned}$$

を得る。

(3)

$y(t) = e^{kt}$ を (2) で得た微分方程式に代入すると、 特性方程式

$$\begin{aligned} k^4 + 4 = 0 \end{aligned}$$

を得る。 したがって、特性根は、

$$\begin{aligned} k = 1+i, 1-i, -1+i, -1-i \end{aligned}$$

である。

(4)

(2) で得た微分方程式の独立な特殊解は、 (3) より、

$$\begin{aligned} e^{(1+i)t}, e^{(1-i)t}, e^{(-1+i)t}, e^{(-1-i)t} \end{aligned}$$

であるが、実数値関数の

$$\begin{aligned} e^t \sin t, e^t \cos t, e^{-t} \sin t, e^{-t} \cos t \end{aligned}$$

も同様である。 したがって、実数解 $y(t)$ は、実数 $A, B, C, D$ を使って、

$$\begin{aligned} y(t) = A e^t \sin t + B e^t \cos t + C e^{-t} \sin t + D e^{-t} \cos t \end{aligned}$$

と書ける。

条件 $\lim_{t \to \infty} y(t) = 0$ より $A=B=0$ であり、 条件 $\lim_{t \ \downarrow \ 0} y(t) = 0$ より $D=0$ であることがわかる。 よって、

$$\begin{aligned} y(t) = C e^{-t} \sin t \end{aligned}$$

となり、

$$\begin{aligned} \frac{dy(t)}{dt} &= C e^{-t} (\cos t - \sin t) \\ \frac{d^2 y(t)}{dt^2} &= -2C e^{-t} \cos t \end{aligned}$$

となる。

ここで、条件 $\lim_{t \ \downarrow \ 0} d^2 y(t) / dt^2 = -2$ より $C=1$ がわかり、

$$\begin{aligned} y(t) &= e^{-t} \sin t \\ \frac{d^2 y(t)}{dt^2} &= -2 e^{-t} \cos t \end{aligned}$$

を得る。 これは、条件 $\lim_{t \to \infty} d^2 y(t) / dt^2 = 0$ を満たす。

また、このとき、

$$\begin{aligned} x(t) &= \frac{1}{2} \frac{d^2 y(t)}{dt^2} + 1 \\ &= - e^{-t} \cos t + 1 \end{aligned}$$

となる。

以上より、求める実数解 $x(t), y(t)$ は、

$$\begin{aligned} x(t) &= - e^{-t} \cos t + 1 \\ y(t) &= e^{-t} \sin t \end{aligned}$$

である。