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大阪大学 基礎工学研究科 数理科学 (システム創成専攻) 2018年8月実施 数理科学 I [2]

标签：

Author​

Miyake

Description​

参考問題​

R4\mathbb R^4 の部分空間 VV が

x1=−x3+2x4,x2=−x3−2x4x_1=-x_3+2x_4,\qquad x_2=-x_3-2x_4

で与えられ、部分空間 WW が基底

w1=(1,0,−5,−2)T,w2=(0,1,−2,−1)Tw_1=(1,0,-5,-2)^{\mathsf T},\qquad w_2=(0,1,-2,-1)^{\mathsf T}

を持つ場合を考える。U=V+WU=V+W と置く。

  1. VV の次元と基底を求める。
  2. WW の次元、UU の次元と基底を求める。

题目描述​

设 V,WV,W 是 R4\mathbb R^4 的子空间，U=V+WU=V+W。

  1. VV 由约束 x1=−x3+2x4,x2=−x3−2x4x_1=-x_3+2x_4,\qquad x_2=-x_3-2x_4 定义，求 VV 的维数和一组基。
  2. WW 的一组基为 w1=(1,0,−5,−2)T,w2=(0,1,−2,−1)T.w_1=(1,0,-5,-2)^T,\qquad w_2=(0,1,-2,-1)^T. 求 WW 的维数，以及 UU 的维数和一组基。

Kai​

(1)​

VV の定義における x1,x2,x3,x4x_1, x_2, x_3, x_4 に関する与えられた3つの式を整理すると、

x1=−x3+2x4x2=−x3−2x4 \begin{aligned} x_1 &= - x_3 + 2 x_4 \\ x_2 &= - x_3 - 2 x_4 \end{aligned}

となるので、

(x1x2x3x4)=(−x3+2x4−x3−2x4x3x4)=x3(−1−110)+x4(2−201) \begin{aligned} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} - x_3 + 2 x_4 \\ - x_3 - 2 x_4 \\ x_3 \\ x_4 \end{pmatrix} = x_3 \begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + x_4 \begin{pmatrix} 2 \\ - 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{aligned}

となる。

したがって、VV は2次元で、

v1=(−1−110),  v2=(2−201) \begin{aligned} v_1 = \begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} , \ \ v_2 = \begin{pmatrix} 2 \\ - 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{aligned}

はその基底である。

(2)​

(1) と同様に考えると、 WW も2次元で、

w1=(10−5−2),  w2=(01−2−1) \begin{aligned} w_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -5 \\ -2 \end{pmatrix} , \ \ w_2 = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -2 \\ -1 \end{pmatrix} \end{aligned}

はその基底である。

そこで、 v1,v2,w1,w2v_1, v_2, w_1, w_2 について考えると、

w1=v1+v2+3w2 \begin{aligned} w_1 = v_1 + v_2 + 3 w_2 \end{aligned}

が成り立ち、また、 w2w_2 は v1,v2v_1, v_2 の線形結合で表すことができない。 したがって、 UU は3次元であり、 v1,v2,w2v_1, v_2, w_2 はその基底である。

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