跳到主要内容

大阪大学 基礎工学研究科 数理科学 (システム創成専攻) 2018年8月実施 数理科学 I [2]

标签：

Author​

Miyake

Description​

题目描述​

原文题干中的部分子空间定义缺失。根据现有解答，考虑 R4\mathbb R^4 的两个子空间 V,WV,W，并令 U=V+WU=V+W。

  1. VV 的约束可化为 x1=−x3+2x4,x2=−x3−2x4.x_1=-x_3+2x_4,\qquad x_2=-x_3-2x_4. 求 dim⁡V\dim V 与一组基。
  2. 求 dim⁡W\dim W、一组基，以及 dim⁡U\dim U 与一组基。原题定义 WW 的方程未保留；现有解答表明可取
    w1=(1,0,−5,−2)T,w2=(0,1,−2,−1)Tw_1=(1,0,-5,-2)^T,\qquad w_2=(0,1,-2,-1)^T
    为 WW 的基。

考点​

  • 齐次线性方程组的解空间：选取自由变量并参数化子空间。
  • 子空间的基与维数：从参数表示中提取线性无关生成向量。
  • 子空间之和：合并两组基并删去线性相关向量。

Kai​

(1)​

VV の定義における x1,x2,x3,x4x_1, x_2, x_3, x_4 に関する与えられた3つの式を整理すると、

x1=−x3+2x4x2=−x3−2x4 \begin{aligned} x_1 &= - x_3 + 2 x_4 \\ x_2 &= - x_3 - 2 x_4 \end{aligned}

となるので、

(x1x2x3x4)=(−x3+2x4−x3−2x4x3x4)=x3(−1−110)+x4(2−201) \begin{aligned} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} - x_3 + 2 x_4 \\ - x_3 - 2 x_4 \\ x_3 \\ x_4 \end{pmatrix} = x_3 \begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + x_4 \begin{pmatrix} 2 \\ - 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{aligned}

となる。

したがって、VV は2次元で、

v1=(−1−110),  v2=(2−201) \begin{aligned} v_1 = \begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} , \ \ v_2 = \begin{pmatrix} 2 \\ - 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{aligned}

はその基底である。

(2)​

(1) と同様に考えると、 WW も2次元で、

w1=(10−5−2),  w2=(01−2−1) \begin{aligned} w_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -5 \\ -2 \end{pmatrix} , \ \ w_2 = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -2 \\ -1 \end{pmatrix} \end{aligned}

はその基底である。

そこで、 v1,v2,w1,w2v_1, v_2, w_1, w_2 について考えると、

w1=v1+v2+3w2 \begin{aligned} w_1 = v_1 + v_2 + 3 w_2 \end{aligned}

が成り立ち、また、 w2w_2 は v1,v2v_1, v_2 の線形結合で表すことができない。 したがって、 UU は3次元であり、 v1,v2,w2v_1, v_2, w_2 はその基底である。

本页目录