大阪大学 基礎工学研究科 機能創成専攻（機械科学） 2025年8月実施 機械科学II 問題2

标签：

• 大阪大学
• 梁的挠度

Author

祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

Description

図2-1(a)に示すように，A点，B点，およびC点で単純支持された長さ $3L$ のはりADのたわみ変形について考える。このはりに対して，AB間の中心に集中荷重 $P$ を負荷し，BC間に単位長さあたり $w$ の等分布荷重を負荷する。このとき，3つの支点に生じる支持反力と，D点でのたわみを次の手順で求めよ。ただし，はりADの曲げ剛性は $EI$ で一定とする。

(1) 図2-1(b)に示すように，はりADからAB間を仮想的に切り出す。切り出されたはりのB点に働く曲げモーメントを $M_B$ とするとき，A点とB点に生じる支持反力，およびA点とB点におけるはりのたわみ角の大きさをそれぞれ求めよ。

(2) 図2-1(c)に示すように，はりADからBC間を仮想的に切り出す。切り出されたはりのB点に働く曲げモーメントを $M_B$ とするとき，B点とC点に生じる支持反力，およびB点とC点におけるはりのたわみ角の大きさをそれぞれ求めよ。

(3) 問(1)，(2)の結果を用いて，B点におけるたわみ角の連続性から曲げモーメント $M_B$ を求めよ。

(4) 問(3)の結果を用いて，はりADの3つの支点A，B，Cに生じる支持反力をそれぞれ求めよ。

(5) はりADのD点で生じるたわみを求めよ。ただし，たわみの符号は下向きを正とする。

题目描述

考虑图2-1(a)所示长度为 $3L$ 的梁AD，在A、B、C三点简支。AB段中点承受集中载荷 $P$，BC段承受单位长度载荷为 $w$ 的均布载荷。按照以下步骤求三个支点的支座反力和D点的挠度。梁AD的抗弯刚度 $EI$ 为常量。

(1) 如图2-1(b)，从梁AD中假想截取AB段。设截取出的梁在B点受到的弯矩为 $M_B$，分别求A、B两点的支座反力和转角大小。

(2) 如图2-1(c)，从梁AD中假想截取BC段。设截取出的梁在B点受到的弯矩为 $M_B$，分别求B、C两点的支座反力和转角大小。

(3) 利用第(1)、(2)问的结果，根据B点转角的连续性求弯矩 $M_B$。

(4) 利用第(3)问的结果，分别求梁AD在A、B、C三个支点的支座反力。

(5) 求梁AD在D点的挠度，以向下为正。

Kai

支持反力は上向きを正とする。曲げモーメント $M_B$ の正方向は図2-1(b)，(c)に従う。各区間の座標を右向き，たわみ $v$ を上向きにとり，たわみ角を $\theta=dv/dx$ とする。したがって，$\theta>0$ は右上がり，$\theta<0$ は右下がりを表す。

(1)

AB間を切り出したときのB点の反力を $R_B^{(AB)}$ とする。B点まわりのモーメントと鉛直力のつり合いより，

$$\begin{aligned} -R_A L+\frac{PL}{2}+M_B&=0,\\ R_A+R_B^{(AB)}&=P. \end{aligned}$$

よって，

$$\boxed{\begin{aligned} R_A&=\frac P2+\frac{M_B}{L},\\ R_B^{(AB)}&=\frac P2-\frac{M_B}{L}. \end{aligned}}$$

中央集中荷重と右端モーメントによるたわみ角を重ね合わせると，

$$\begin{aligned} \theta_A&=-\frac{PL^2}{16EI}-\frac{M_B L}{6EI},\\ \theta_B^{(AB)}&=\frac{PL^2}{16EI}+\frac{M_B L}{3EI}. \end{aligned}$$

したがって，求めるたわみ角の大きさは

$$\boxed{ \begin{aligned} |\theta_A|&=\left|\frac{PL^2}{16EI}+\frac{M_B L}{6EI}\right|,\\ |\theta_B^{(AB)}|&=\left|\frac{PL^2}{16EI}+\frac{M_B L}{3EI}\right|. \end{aligned}}$$

(2)

CD間には荷重がなく，D点は自由端なので，CD間の曲げモーメントは0であり，$M_C=0$ である。BC間を切り出したときのB点の反力を $R_B^{(BC)}$ とすると，C点まわりのモーメントと鉛直力のつり合いより，

$$\begin{aligned} -R_B^{(BC)}L+\frac{wL^2}{2}-M_B&=0,\\ R_B^{(BC)}+R_C&=wL. \end{aligned}$$

したがって，

$$\boxed{\begin{aligned} R_B^{(BC)}&=\frac{wL}{2}-\frac{M_B}{L},\\ R_C&=\frac{wL}{2}+\frac{M_B}{L}. \end{aligned}}$$

等分布荷重と左端モーメントによるたわみ角を重ね合わせると，

$$\begin{aligned} \theta_B^{(BC)}&=-\frac{wL^3}{24EI}-\frac{M_B L}{3EI},\\ \theta_C&=\frac{wL^3}{24EI}+\frac{M_B L}{6EI}. \end{aligned}$$

よって，たわみ角の大きさは

$$\boxed{ \begin{aligned} |\theta_B^{(BC)}|&=\left|\frac{wL^3}{24EI}+\frac{M_B L}{3EI}\right|,\\ |\theta_C|&=\left|\frac{wL^3}{24EI}+\frac{M_B L}{6EI}\right|. \end{aligned}}$$

(3)

B点では，符号を含めたたわみ角が連続する。したがって，$\theta_B^{(AB)}=\theta_B^{(BC)}$ より，

$$\frac{PL^2}{16EI}+\frac{M_B L}{3EI} =-\frac{wL^3}{24EI}-\frac{M_B L}{3EI}.$$

これを解くと，

$$\boxed{M_B=-\frac{3PL+2wL^2}{32}}.$$

負号は，B点で上に凸になる向きの曲げモーメントが生じることを表す。

(4)

(3)の $M_B$ を代入し，B点では両区間の反力を加える。

$$\boxed{ \begin{aligned} R_A&=\frac P2+\frac{M_B}{L} =\frac{13P}{32}-\frac{wL}{16},\\ R_B&=R_B^{(AB)}+R_B^{(BC)} =\frac{11P}{16}+\frac{5wL}{8},\\ R_C&=\frac{wL}{2}+\frac{M_B}{L} =\frac{7wL}{16}-\frac{3P}{32}. \end{aligned}}$$

反力が負となる場合，その向きは下向きである。これらは $R_A+R_B+R_C=P+wL$ を満たす。

(5)

CD間は曲げモーメントが0なので，たわみ曲線はC点での接線を延長した直線となる。$v_C=0$，$CD=L$ より，$v_D=L\theta_C$ である。

$$\theta_C=\frac{wL^3}{24EI}+\frac{M_B L}{6EI} =\frac{wL^3}{32EI}-\frac{PL^2}{64EI}.$$

問題の指定に合わせて下向きを正とすると，D点のたわみは

$$\boxed{\begin{aligned} \delta_D&=-L\theta_C=\frac{PL^3-2wL^4}{64EI}\\ &=\frac{L^3(P-2wL)}{64EI}. \end{aligned}}$$

$P<2wL$ ならD点は上がり，$P>2wL$ なら下がる。$P=2wL$ のとき，D点のたわみは0となる。

補足：$P=wL$ の場合

次の図は，$P=wL$ の場合のせん断力図，曲げモーメント図およびたわみ曲線である。横軸はA点からの距離 $x/L$ とし，縦軸はそれぞれ図中の量で無次元化している。曲げモーメントは下に凸になる向きを正とし，図では正の値を上側に描いている。たわみ $v$ も上向きが正なので，問(5)の $\delta_D$ とは符号が逆になる。

Reference

• 大阪大学公式原題：2026年度（2025年8月実施）機械科学II，問題2（PDF第2頁）
• 大阪大学大学院基礎工学研究科 機械科学：過去の入試問題