大阪大学 基礎工学研究科 機械科学 (機能創成専攻) 2022年8月実施 機械科学I 問題3

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Author

Miyake

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题目描述

原文题干缺失，以下依据现有解答整理。

1. 设连续函数 $f:[0,\infty)\to\mathbb R$ 满足：

   • (i) 对所有 $x\ge0$，$f(x)\ge0$；
   • (ii) 对所有 $x,y\ge0$，$f(x+y)=f(x)+f(y)$。

   依次证明：

   1. $f$ 单调不减；
   2. 对非负整数 $n$，$f(nx)=nf(x)$；
   3. 对正有理数 $r$，$f(rx)=rf(x)$；
   4. 存在 $c\ge0$，使所有 $x\ge0$ 都有 $f(x)=cx$。

2. 信息量函数 $I(p)$ 定义于 $0<p\le1$，满足非负性、独立事件概率乘积的可加性 $I(pq)=I(p)+I(q),$ 连续性及归一化条件 $I(1/2)=1$。

   1. 定义 $f(x)=I(2^{-x})$，证明它满足第 1 问条件；
   2. 推导唯一形式 $I(p)=-\log_2p.$

3. 第 3 题题干与解答均缺失。

Kai

(1)

(a)

$a=x_2-x_1$ とおくと、 $a \gt 0$ であるから、与えられた条件式 (i) より $f(a) \geq 0$ がわかる。 よって、

$$\begin{aligned} f(x_2) &= f(x_1+a) \\ &= f(x_1) + f(a) \ \ \ \ \ \ \ \ ( \because \text{ (ii) } ) \\ &\geq f(x_1) \end{aligned}$$

がわかる。

(b)

与えられた条件式 (ii) で $x=y=0$ とおくことで

$$\begin{aligned} f(0) = 0 \end{aligned}$$

がわかる。 よって、 $n=0$ のとき

$$\begin{aligned} f(nx) = nf(x) \end{aligned}$$

が成り立つことがわかる。 また、 $n=1, 2, \cdots$ のとき

$$\begin{aligned} f(nx) &= f(x + x + \cdots + x) \\ &= f(x) + f(x) + \cdots + f(x) \ \ \ \ \ \ \ \ ( \because \text{ (ii) } ) \\ &= n f(x) \end{aligned}$$

が成り立つ。

((c))

$$\begin{aligned} f(rx) &= f \left( \frac{m}{n} x \right) \\ &= m f \left( \frac{1}{n} x \right) \ \ \ \ \ \ \ \ ( \because \text{ (b) } ) \\ &= rn f \left( \frac{1}{n} x \right) \\ &= r f \left( n \cdot \frac{1}{n} x \right) \ \ \ \ \ \ \ \ ( \because \text{ (b) } ) \\ &= r f \left( x \right) \end{aligned}$$

(d)

$x$ が正の有理数のとき、

$$\begin{aligned} f(x) &= f( x \cdot 1) \\ &= x f(1) \ \ \ \ \ \ \ \ ( \because \text{ (c) } ) \\ &= cx \ \ \ \ \ \ \ \ ( c = f(1) \geq 0) \end{aligned}$$

である。 $f$ は連続関数であることから、 $x \in [0, \infty)$ について

$$\begin{aligned} f(x) = cx \ \ \ \ \ \ \ \ ( c = f(1) \geq 0) \end{aligned}$$

が成り立つことがわかる。

(2)

(e)

$f(x)$ が問 (1) の条件 (i) を満足することは、次のようにしてわかる：

$$\begin{aligned} f(x) &= I \left( 2^{-x} \right) \\ &\geq 0 . \ \ \ \ \ \ \ \ ( \because I(p) \text{ に関する1番目の条件 } ) \end{aligned}$$

$f(x)$ が問 (1) の条件 (ii) を満足することは、次のようにしてわかる：

$$\begin{aligned} f(x+y) &= I \left( 2^{-(x+y)} \right) \\ &= I \left( 2^{-x} \cdot 2^{-y} \right) \\ &= I \left( 2^{-x} \right) + I \left( 2^{-y} \right) \ \ \ \ \ \ \ \ ( \because I(p) \text{ に関する2番目の条件 } ) \\ &= f(x) + f(y) . \end{aligned}$$

(f)

(d), (e) より、

$$\begin{aligned} I(p) &= f \left( - \log_2 p \right) \\ &= - c \log_2 p \ \ \ \ (c \geq 0) \end{aligned}$$

がわかる。 さらに $I(p)$ に関する3番目の条件から $c=1$ がわかり、

$$\begin{aligned} I(p) &= - \log_2 p \end{aligned}$$

を得る。

(3)