大阪大学 基礎工学研究科 機能創成専攻（機械科学）2018年度 機械科学I 問題3

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• 控制体动量守恒
• 局部水头损失
• 亥姆霍兹共鸣器

Author

祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

Description

(1) 非圧縮性流体（密度 $\rho$）が、断面積 $A_1$ の管から $A_2>A_1$ の管へ急拡大して定常に流れる。拡大部から十分離れた上流・下流の流速と圧力は一様で、それぞれ $u_1,p_1$ と $u_2,p_2$ である。管外の圧力は一定値 $p_0$ とする。壁面摩擦を無視し、拡大直後の環状渦領域の圧力を $p_1$ とみなす。

(a) $u_2$ を求めよ。(b) 拡大部を含む検査体積について運動量の式を書け。(c) 単位質量当たりの損失エネルギーを $A_1,A_2,u_1$ で表せ。(d) 損失の生じる機構を説明せよ。(e) 流れ方向を正として、下流側の管に働く軸方向の力を $A_1,A_2,p_0,p_1$ で表せ。

(2) 断面積 $A$、長さ $L$ の細い管が、体積 $V\gg AL$ の空洞と外部をつなぐヘルムホルツ共鳴器を考える。外部圧力は $p_0$ 一定、管内の平均密度は $\bar\rho$ とする。管長は音波の波長 $2\pi a/\omega$ より十分短く、管内流速 $u(t)$ は軸方向に一様で空洞に流入する向きを正とする。空洞内の密度 $\rho(t)$ と圧力 $p(t)$ は一様、音速は $a$ とし、粘性を無視する。

(a) 空洞内の質量保存式を書け。(b) 管内気体の運動方程式を書け。(c) $\dot\rho=\dot p/a^2$ を用いて $u$ の方程式を導け。(d) 固有角振動数を求めよ。(e) この振動を機械系に対応づけて説明せよ。

题目描述

(1) 密度 $\rho$ 的不可压缩流体由截面积 $A_1$ 的管道突然扩张进入 $A_2>A_1$ 的管道。远离扩张处的均匀流速、压力分别为 $(u_1,p_1)$ 和 $(u_2,p_2)$，外界压力为 $p_0$。忽略壁面摩擦，将回流区压力视为 $p_1$。求下游流速、动量平衡、单位质量的机械能损失，解释损失机理，并求下游管所受的轴向力。

(2) 长 $L$、截面积 $A$ 的细管连接外界和体积 $V\gg AL$ 的空腔。细管长度远小于波长，管内速度均匀，平均密度为 $\bar\rho$，以流入空腔为正；外压 $p_0$ 恒定，腔内密度与压力均匀，声速为 $a$。忽略黏性，建立质量、动量及声学关系，求速度振动方程、固有角频率和等效质量弹簧系统。

Kai

(1)(a), (b)

質量保存より

$$\boxed{u_2=\frac{A_1}{A_2}u_1}.$$

検査体積の上流側には主流部 $A_1$ と圧力 $p_1$ の環状領域 $A_2-A_1$ がある。したがって

$$\boxed{(p_1-p_2)A_2=\rho A_2u_2^2-\rho A_1u_1^2}, \qquad p_2-p_1=\rho u_2(u_1-u_2).$$

(1)(c), (d)

単位質量当たりの機械的エネルギーの減少は

$$\ell=\frac{p_1-p_2}{\rho}+\frac{u_1^2-u_2^2}{2} =\frac{(u_1-u_2)^2}{2} =\boxed{\frac{u_1^2}{2}\left(1-\frac{A_1}{A_2}\right)^2}.$$

急拡大により流れが剥離して再循環域が生じ、主流との混合・乱れを経て機械的エネルギーが内部エネルギーに変わる。壁面摩擦を無視しても混合による損失は残る。全エネルギーの保存が破れるという意味ではない。

(1)(e)

拡大段差の環状面では、管内部の圧力 $p_1$ が管を上流向きに、外部圧力 $p_0$ が下流向きに押す。管の平行な側壁には軸方向圧力成分がないので

$$\boxed{F_x=(p_0-p_1)(A_2-A_1)}.$$

(2)(a), (b)

空洞への質量流入と、管内気体柱に働く圧力差から

$$\boxed{V\dot\rho=\bar\rho Au},\qquad \boxed{\bar\rho AL\dot u=A(p_0-p)}.$$

(2)(c), (d)

$\dot p=a^2\dot\rho=a^2\bar\rho Au/V$ を運動方程式の時間微分に代入すると

$$\boxed{\ddot u+\frac{a^2A}{LV}u=0},\qquad \boxed{\omega=a\sqrt{\frac{A}{LV}}}.$$

(2)(e)

管内気体の変位を $\xi$（$\dot\xi=u$）とすると、空洞への体積流入は $A\xi$、圧力上昇は $p-p_0=\bar\rho a^2A\xi/V$ である。したがって

$$m_{\rm eff}=\bar\rho AL,\qquad k_{\rm eff}=\frac{\bar\rho a^2A^2}{V},\qquad m_{\rm eff}\ddot\xi+k_{\rm eff}\xi=0.$$

管内の気体柱が質量、空洞内気体の圧縮性がばねの役割を果たす。

Reference

• 大阪大学公式原題：平成30年度（平成29年8月実施）、機械科学I、PDF 5–6ページ