大阪大学 基礎工学研究科 機能創成専攻（機械科学） 2017年8月実施 機械科学I 問題3

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• 控制体动量守恒
• 局部水头损失
• 亥姆霍兹共鸣器

Author

祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

Description

問題3 次の(1)(2)の両方を解答し，それぞれ別の解答用紙に記入せよ。

(1) 図1-5に示すような，拡大部を伴う管の中の，密度が $\rho$ の非圧縮性流体の定常流れを考える。拡大部の上流側の管の断面積を $A_1$，流速を $u_1$，圧力を $p_1$，拡大部の下流側の管の断面積を $A_2\ (>A_1)$，一様化した後の流速を $u_2$，圧力を $p_2$ とする。拡大部付近を除いて，流れは管に垂直な断面内で一様と仮定する。周囲の流体の圧力を $p_0$（一定）とし，また管壁のせん断応力を無視する。以下の問に答えよ。

(a) $u_2$ を $u_1,A_1,A_2$ を用いて表せ。

(b) 図1-5に示すように，管の拡大部の角に渦が生じ，この周辺の管壁近傍の圧力が $p_1$ になると仮定する。図1-5中に破線で示す検査面に対して運動量保存の法則を適用して得られる式を示せ。

(c) 拡大部で生じる，単位質量当たりの流体のエネルギー損失を，$A_1,A_2,u_1$ を用いて表せ。

(d) エネルギー損失が生じる流体力学的な仕組みを簡潔に説明せよ。

(e) 拡大部の下流側の管が流体から受ける流れ方向の力を，$A_1,A_2,p_0,p_1$ を用いて表せ。

(2) 図1-6に示すように，断面積が $A$，長さが $L$ の管が，体積が $V$ の容器に接続されている系を考える。管と容器の内部とそれらの周囲は気体で満たされていて，管の入口部近傍で気体にじょう乱を与えると，管と容器の中の気体が一定の角周波数 $\omega$ で微小振動した。管の長さ $L$ は，音の波長 $2\pi a/\omega$（$a$ は音速）に比べて十分小さく，長さが $L$ の管内では，気体は管軸方向にのみ流動し，その流速 $u$ は空間的に一様であったと仮定する。簡単化のために，長さが $L$ の管内では，気体の密度を一定と仮定し，その値を $\bar\rho$ とする。また，容器の体積 $V$ は，管の体積 $AL$ に比べて十分大きく，容器内の気体の密度 $\rho$ と圧力 $p$ は空間的に一様に変化したと仮定する。さらに，気体の粘性を無視し，また周囲の気体の圧力が $p_0$ で一定と仮定する。時刻を $t$ として以下の問に答えよ。

(a) 管から容器内に流入（または，容器内から管へ流出）する質量流量が，容器内の気体の質量の時間変化率に等しいという条件から導かれる連続の式を，$A,t,u,V,\rho,\bar\rho$ を用いて表せ。

(b) 長さ $L$ の管内の気体の運動方程式を示せ。

(c) 容器内の気体の密度 $\rho$ と圧力 $p$ には，音速 $a$ の定義から，次の関係がある。

$$\frac{d\rho}{dt}=\frac1{a^2}\frac{dp}{dt}$$

このとき，管内の気体の速度 $u$ に関して成り立つ微分方程式を示せ。

(d) 角周波数 $\omega$ を，$a,A,L,V$ を用いて表せ。

(e) 問(d)で得られた角周波数 $\omega$ の力学的な意味を述べよ。

题目描述

问题3 第(1)、(2)问均须作答，分别写在不同的答题纸上。

(1) 考虑图1-5所示带有突然扩张段的管内，密度为 $\rho$ 的不可压缩流体的稳态流动。扩张段上游的管截面积、流速、压力分别为 $A_1,u_1,p_1$；下游的管截面积为 $A_2>A_1$，流动恢复均匀后的流速、压力分别为 $u_2,p_2$。除扩张段附近外，假设流动在垂直于管轴的截面内均匀。周围流体压力为恒定值 $p_0$，忽略管壁剪应力。回答下列问题。

(a) 用 $u_1,A_1,A_2$ 表示 $u_2$。

(b) 如图1-5，假设扩张段拐角处产生旋涡，该区域管壁附近的压力为 $p_1$。对图中虚线表示的控制面应用动量守恒定律，写出所得方程。

(c) 用 $A_1,A_2,u_1$ 表示扩张段中单位质量流体的能量损失。

(d) 简要说明产生能量损失的流体力学机制。

(e) 用 $A_1,A_2,p_0,p_1$ 表示扩张段下游的管受到的沿流动方向的流体作用力。

(2) 考虑图1-6所示系统：截面积为 $A$、长度为 $L$ 的管与体积为 $V$ 的容器连接。管与容器内部以及周围均充满气体，在管入口附近对气体施加扰动后，管与容器内的气体以恒定角频率 $\omega$ 作微小振动。假定管长 $L$ 远小于声波波长 $2\pi a/\omega$，其中 $a$ 为声速；在长度为 $L$ 的管内，气体仅沿管轴流动，其流速 $u$ 在空间上均匀。为简化问题，假定管内气体密度为常数 $\bar\rho$。容器体积 $V$ 远大于管体积 $AL$，容器内气体密度 $\rho$ 和压力 $p$ 在空间上均匀地变化。此外，忽略气体黏性，周围气体压力保持为 $p_0$。以 $t$ 表示时间，回答下列问题。

(a) 根据“从管流入容器（或从容器流入管）的质量流量等于容器内气体质量随时间的变化率”，用 $A,t,u,V,\rho,\bar\rho$ 表示由此得到的连续性方程。

(b) 写出长度为 $L$ 的管内气体的运动方程。

(c) 根据声速 $a$ 的定义，容器内气体密度 $\rho$ 和压力 $p$ 满足

$$\frac{d\rho}{dt}=\frac1{a^2}\frac{dp}{dt}.$$

写出此时管内气体速度 $u$ 所满足的微分方程。

(d) 用 $a,A,L,V$ 表示角频率 $\omega$。

(e) 说明第(d)问所得角频率 $\omega$ 的力学意义。

Kai

(1)(a), (b)

質量保存より

$$\boxed{u_2=\frac{A_1}{A_2}u_1}.$$

検査体積の上流側には主流部 $A_1$ と圧力 $p_1$ の環状領域 $A_2-A_1$ がある。したがって

$$\boxed{(p_1-p_2)A_2=\rho A_2u_2^2-\rho A_1u_1^2}, \qquad p_2-p_1=\rho u_2(u_1-u_2).$$

(1)(c), (d)

単位質量当たりの機械的エネルギーの減少は

$$\ell=\frac{p_1-p_2}{\rho}+\frac{u_1^2-u_2^2}{2} =\frac{(u_1-u_2)^2}{2} =\boxed{\frac{u_1^2}{2}\left(1-\frac{A_1}{A_2}\right)^2}.$$

急拡大により流れが剥離して再循環域が生じ、主流との混合・乱れを経て機械的エネルギーが内部エネルギーに変わる。壁面摩擦を無視しても混合による損失は残る。全エネルギーの保存が破れるという意味ではない。

(1)(e)

拡大段差の環状面では、管内部の圧力 $p_1$ が管を上流向きに、外部圧力 $p_0$ が下流向きに押す。管の平行な側壁には軸方向圧力成分がないので

$$\boxed{F_x=(p_0-p_1)(A_2-A_1)}.$$

(2)(a), (b)

空洞への質量流入と、管内気体柱に働く圧力差から

$$\boxed{V\dot\rho=\bar\rho Au},\qquad \boxed{\bar\rho AL\dot u=A(p_0-p)}.$$

(2)(c), (d)

$\dot p=a^2\dot\rho=a^2\bar\rho Au/V$ を運動方程式の時間微分に代入すると

$$\boxed{\ddot u+\frac{a^2A}{LV}u=0},\qquad \boxed{\omega=a\sqrt{\frac{A}{LV}}}.$$

(2)(e)

管内気体の変位を $\xi$（$\dot\xi=u$）とすると、空洞への体積流入は $A\xi$、圧力上昇は $p-p_0=\bar\rho a^2A\xi/V$ である。したがって

$$m_{\rm eff}=\bar\rho AL,\qquad k_{\rm eff}=\frac{\bar\rho a^2A^2}{V},\qquad m_{\rm eff}\ddot\xi+k_{\rm eff}\xi=0.$$

管内の気体柱が質量、空洞内気体の圧縮性がばねの役割を果たす。

Reference

• 大阪大学公式原題：平成30年度（平成29年8月実施）、機械科学I、PDF 5–6ページ