大阪大学 基礎工学研究科 機能創成専攻（機械科学）2018年度 機械科学I 問題2

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• 直流电动机动力学
• 传递函数

Author

祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

Description

非磁性の円柱状の芯（半径 $r$、軸方向長さ $\ell$）に、軸を含む平面内の長方形コイルを $n$ 回巻いた直流電動機を考える。導線の半径は $r$ に比べ十分小さい。磁束密度 $B$ は軸に垂直な一様磁場である。コイルの軸方向の二辺（長さ $\ell$）は軸からそれぞれ距離 $r$ にあり、図の基準位置では磁場に垂直な電磁力が互いに逆向きに働く。複数のコイル・整流子・ブラシにより、トルクと逆起電力はこの基準位置での値に保たれるものとする。

慣性モーメントを $J$、角速度を $\omega$、電流を $i$、電源電圧を $E$、電機子の抵抗・インダクタンスを $R,L$ とする。駆動トルク $T$ の向きを正とし、負荷トルク $T_L$ は回転を妨げる。逆起電力を $e$ とする。

1. $T$ を $B,n,\ell,r,i$ で表せ。
2. $e$ を $B,n,\ell,r,\omega$ で表せ。
3. $T=K_Ti$ として、回転運動方程式を書け。
4. $e=K_E\omega$ として、電気回路の式を書け。
5. 一定電圧 $E_0$ の下で定常運転するとき、最大負荷トルク、最大角速度、最大出力を $E_0,K_T,K_E,R$ で表せ。
6. $T_L=0,\ K_T=K_E=K$ とする。初期値をゼロとして、入力 $E$ と出力 $\omega$ のラプラス変換を $u(s),q(s)$ とする。伝達関数を $G(s)=q(s)/u(s)=(1/K)/(\tau_1\tau_2s^2+\tau_1s+1)$ と表すとき、$\tau_1,\tau_2$ を求めよ。
7. $\tau_2\ll\tau_1$ で $\tau_2=0$ と近似できるとする。応答を速くするには芯の長さ $\ell$ をどうすればよいか、理由とともに述べよ。

题目描述

圆柱芯半径为 $r$、轴向长为 $\ell$，绕有 $n$ 匝矩形线圈，置于与轴垂直的均匀磁场 $B$ 中。两条轴向导线分别距轴 $r$；整流结构使转矩和反电动势保持在题设基准姿态的值。电机转动惯量为 $J$，电流为 $i$，角速度为 $\omega$，供电电压为 $E$，电阻、电感为 $R,L$，阻转负载为 $T_L$。求转矩、反电动势、机械及电路方程；求恒压下的最大负载转矩、最大转速和最大输出功率；在无负载且两常数相等时求传递函数中的两个时间常数；忽略电气时间常数后，说明如何改变芯的长度以加快响应。

Kai

(1), (2)

軸方向の一辺に働く力は $B\ell i$。二辺の偶力を $n$ 巻について加えると

$$\boxed{T=2nB\ell r\,i},\qquad K_T=2nB\ell r.$$

導線の速度は $r\omega$ であり、一辺の運動起電力は $B\ell r\omega$。二辺と巻数を合わせて

$$\boxed{e=2nB\ell r\,\omega},\qquad K_E=2nB\ell r.$$

SI単位系では両定数の数値は等しい。

(3), (4)

回転運動と回路の電圧収支から

$$\boxed{J\dot\omega=K_Ti-T_L},\qquad \boxed{E=L\dot i+Ri+K_E\omega}.$$

(5)

定常状態で $i=T_L/K_T$ だから

$$\omega=\frac{E_0}{K_E}-\frac{R}{K_TK_E}T_L.$$

正回転・正負荷の範囲では、停止時の最大トルクと無負荷時の最大角速度は

$$\boxed{T_{L,\max}=\frac{K_TE_0}{R}},\qquad \boxed{\omega_{\max}=\frac{E_0}{K_E}}.$$

出力 $P=T_L\omega$ は $T_L=K_TE_0/(2R)$、$\omega=E_0/(2K_E)$ で最大となるので

$$\boxed{P_{\max}=\frac{K_TE_0^2}{4RK_E}}.$$

(6)

$Jsq=Ki$、$u=(Ls+R)i+Kq$ から $i$ を消去すると

$$G(s)=\frac{K}{JLs^2+JRs+K^2} =\frac{1/K}{(JL/K^2)s^2+(JR/K^2)s+1}.$$

したがって

$$\boxed{\tau_1=\frac{JR}{K^2},\qquad\tau_2=\frac{L}{R}}.$$

(7)

一次遅れの時定数は $\tau_1=JR/K^2$ である。芯の密度・半径・巻数・磁場などを固定し、芯の慣性が支配的とすれば $J\propto\ell$、$K\propto\ell$。$R$ を一定と扱うと $\tau_1\propto1/\ell$ なので、$\boxed{\ell\text{ を長くする}}$ と応答が速くなる。

導線の断面積と抵抗率も固定して巻線長の変化を含めると $R\propto\ell+2r$ であり、$\tau_1\propto1+2r/\ell$ はやはり単調減少する。これは時定数についての比較であり、同じ電圧に対する定常角速度 $E_0/K$ も同時に変化する。

Reference

• 大阪大学公式原題：平成30年度（平成29年8月実施）、機械科学I、PDF 3–4ページ