大阪大学 基礎工学研究科 機能創成専攻（機械科学） 2017年8月実施 機械科学I 問題1

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• 理想气体自由膨胀
• 不可逆过程
• 变热导率导热
• 变分法

Author

祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

Description

問題1 次の(1)(2)の両方を解答し，それぞれ別の解答用紙に記入せよ。

(1) 定圧比熱 $c_p$，定積比熱 $c_v$，気体定数 $R$ の理想気体のサイクル（循環過程）に関する以下の問題に答えよ。ただし，$c_p,c_v$ は一定とみなせる。

図1-1に示すサイクル $1\to2\to3\to1$ に従って気体の状態を変化させる。状態1の気体の圧力は $p_1$，体積は $V_1$，絶対温度は $T_1$ である。状態1の気体を体積 $V_2\ (>V_1)$ になるまで真空の周囲に対して急激に断熱膨張させ，十分時間が経過すると，気体は状態2となる。状態2の気体を，体積を $V_2$ に保ちながら，圧力 $p_1$ になるまでゆっくりと加熱し，状態3を得る。状態3の気体を，圧力を一定に保ちながら，体積 $V_1$ になるまでゆっくりと圧縮し，気体を状態1に戻す。このサイクルをサイクル A とよぶ。

(a) 状態2および状態3における気体の絶対温度をそれぞれ求めよ。

(b) サイクル A について熱力学第1法則を考え，Mayer の関係式

$$c_p-c_v=R$$

が成り立つことを示せ。

(c) サイクル A に関する Clausius の積分

$$\oint\frac{d'Q}{T}$$

を計算し（$T$ は熱源の絶対温度，$d'Q$ は無限小過程において熱源から得る熱量），サイクル A は可逆か不可逆かを判定せよ。

サイクル A における状態変化 $1\to2$ を，気体を一定温度 $T_1$ の熱源と接触させながら，ゆっくりと体積 $V_1$ から体積 $V_2$ まで膨張させる状態変化に変更したサイクル B を考える。

(d) サイクル B に関する Clausius の積分を計算し，サイクル B は可逆か不可逆かを判定せよ。

サイクル A における状態変化 $1\to2$ を，気体を周囲から断熱して，ゆっくりと体積 $V_1$ から体積 $V_2$ まで膨張させる状態変化に変更したサイクル C を考える。

(e) サイクル A，サイクル B，サイクル C において気体が周囲からされる仕事を比較し，それらの大小関係を示せ。

(2) 熱伝導率 $k$ が絶対温度 $T$ の関数として，$k=\alpha T^\beta$（$\alpha$ と $\beta\ (\ne-1)$ は定数）と表される物質内の一次元（$x$ 方向）の熱伝導を考える。物質の温度は位置 $x$ のみに依存するとし，$x=0$ および $x=L$ における物質の温度をそれぞれ $T_0$ および $T_L$ に保つ。十分に時間が経過した後の，位置 $x\ (0\le x\le L)$ における物質の温度を $T(x)$ と表す。このとき，以下の問に答えよ。

(a) $T(x)$ を求めよ。

(b) $x$ 方向の熱流束を求めよ。

(c) 一般に，温度の上昇とともに，金属の熱伝導率は小さくなり，気体の熱伝導率は大きくなる。その理由を，金属中と気体中の熱伝導の仕組みを交えて説明せよ。

(d) $|T_0-T_L|/T_0\ll1$ のとき，$k$ の $T$ 依存性は無視でき，$\beta=0$ で近似できる。この場合，(a)で求めた $T(x)$ は，$T(0)=T_0,T(L)=T_L$ の条件のもと，

$$P=\int_0^L k\left(\frac{dT}{dx}\right)^2\,dx$$

の極値を与えることを示せ。

题目描述

问题1 第(1)、(2)问均须作答，分别写在不同的答题纸上。

(1) 回答下列关于定压比热 $c_p$、定容比热 $c_v$、气体常数 $R$ 的理想气体循环的问题。设 $c_p,c_v$ 可视为常数。

令气体按图1-1的循环 $1\to2\to3\to1$ 改变状态。状态1的压力为 $p_1$，体积为 $V_1$，绝对温度为 $T_1$。使状态1的气体向真空环境快速绝热膨胀至体积 $V_2>V_1$，经过足够长时间后达到状态2。保持状态2气体的体积为 $V_2$，缓慢加热至压力为 $p_1$，得到状态3。再保持压力不变，缓慢压缩至体积 $V_1$，使气体返回状态1。将此循环称为循环 A。

(a) 分别求状态2和状态3的气体绝对温度。

(b) 对循环 A 应用热力学第一定律，证明迈耶关系式

$$c_p-c_v=R$$

成立。

(c) 计算循环 A 的克劳修斯积分

$$\oint\frac{d'Q}{T},$$

并判断循环 A 可逆还是不可逆。其中 $T$ 为热源的绝对温度，$d'Q$ 为无穷小过程中从热源取得的热量。

考虑循环 B：将循环 A 的 $1\to2$ 过程改为气体与温度恒为 $T_1$ 的热源接触，缓慢从体积 $V_1$ 膨胀至 $V_2$。

(d) 计算循环 B 的克劳修斯积分，并判断循环 B 可逆还是不可逆。

考虑循环 C：将循环 A 的 $1\to2$ 过程改为使气体与外界绝热，缓慢从体积 $V_1$ 膨胀至 $V_2$。

(e) 比较循环 A、B、C 中外界对气体所做的功，给出它们的大小关系。

(2) 考虑材料中的一维（$x$ 方向）热传导，其导热系数随绝对温度 $T$ 变化，表示为 $k=\alpha T^\beta$，其中 $\alpha,\beta$ 为常数，$\beta\ne-1$。材料温度只依赖位置 $x$，在 $x=0$ 和 $x=L$ 处的温度分别保持为 $T_0,T_L$。以 $T(x)$ 表示经过足够长时间后位置 $x\ (0\le x\le L)$ 处的温度。回答下列问题。

(a) 求 $T(x)$。

(b) 求 $x$ 方向的热流密度。

(c) 一般而言，随着温度升高，金属的导热系数减小，而气体的导热系数增大。结合金属和气体中的热传导机制说明原因。

(d) 当 $|T_0-T_L|/T_0\ll1$ 时，可忽略 $k$ 对 $T$ 的依赖，用 $\beta=0$ 近似。证明在此情况下，第(a)问得到的 $T(x)$ 在边界条件 $T(0)=T_0,T(L)=T_L$ 下使

$$P=\int_0^L k\left(\frac{dT}{dx}\right)^2\,dx$$

取极值。

Kai

(1)(a)

物質量を $n=p_1V_1/(RT_1)$、$r=V_2/V_1>1$ とする。自由膨張では熱も仕事もゼロなので、$\Delta U=nc_v(T_2-T_1)=0$。理想気体の状態方程式から

$$\boxed{T_2=T_1,\qquad T_3=rT_1}.$$

(1)(b)

一周の吸熱量と気体がする仕事は

$$\begin{gathered} Q=nc_v(T_3-T_2)+nc_p(T_1-T_3)=n(c_v-c_p)T_1(r-1),\\ W_{\rm by}=-p_1(V_2-V_1). \end{gathered}$$

一周では $\Delta U=0$ だから $Q=W_{\rm by}$。$p_1V_1=nRT_1$ を用いて

$$\boxed{c_p-c_v=R}.$$

(1)(c)

ゆっくりした熱交換では熱源と気体の温度差を無限小とする可逆熱交換の極限を用いる。自由膨張中は $\delta Q=0$ なので

$$\oint_A\frac{\delta Q}{T} =0+nc_v\ln\frac{T_3}{T_2}+nc_p\ln\frac{T_1}{T_3} =\boxed{-nR\ln r<0}.$$

サイクルAは不可逆である。自由膨張における気体のエントロピー増加は $nR\ln r$ であり、断熱でもゼロにはならない。有限温度差の熱交換を仮定すると追加の不可逆性が生じるため、上の積分値とは区別する。

(1)(d)

等温膨張の吸熱量は $Q_{12}=nRT_1\ln r$。残りの二過程はAと同じなので

$$\oint_B\frac{\delta Q}{T}=nR\ln r-nR\ln r=\boxed{0}.$$

摩擦や有限温度差の熱交換がない理想化の下で、Bは可逆である。

(1)(e)

$\gamma=c_p/c_v>1$ とする。膨張時に気体がする仕事は

$$\begin{gathered} W_A=0,\\ W_B=p_1V_1\ln r,\\ W_C=\int_{V_1}^{V_2}p_1\left(\frac{V_1}{V}\right)^\gamma dV =\frac{p_1V_1}{\gamma-1}(1-r^{1-\gamma}). \end{gathered}$$

$z=(\gamma-1)\ln r>0$ に対する $0<1-e^{-z}<z$ より $0<W_C<W_B$。各サイクルで共通の圧縮仕事は $p_1(V_2-V_1)$ であるから

$$\boxed{W_{{\rm on},A}>W_{{\rm on},C}>W_{{\rm on},B}}.$$

(2)(a), (b)

定常状態では $q_x=-kT'$ は一定であり、$\alpha T^\beta T'=-q_x$ を積分すると

$$\boxed{T(x)=\left[T_0^{\beta+1}+ \frac{T_L^{\beta+1}-T_0^{\beta+1}}{L}x\right]^{1/(\beta+1)}},$$

$$\boxed{q_x=\frac{\alpha}{(\beta+1)L} \left(T_0^{\beta+1}-T_L^{\beta+1}\right)}.$$

絶対温度が正の範囲で用いる。$T_0>T_L$ なら $q_x>0$ である。

(2)(c)

金属では主に伝導電子が熱を運ぶ。温度上昇に伴う格子振動の増大は電子散乱を増やし、電子の平均自由行程を短くするため、熱伝導率を低下させる方向に働く。ただし電子比熱なども変化するので、温度依存性は金属と温度域による。

気体では分子の熱運動が熱を運ぶ。分子の平均速度はおおむね $\sqrt T$ に比例して増え、単純な分子運動論では単位体積当たりの熱容量と平均自由行程の積の密度依存性が打ち消し合う。そのため熱伝導率は温度とともに増加する。

(2)(d)

$k=\alpha$ 一定とし、端点でゼロになる任意の変分 $\eta$ を用いると

$$\delta P=2\alpha\int_0^L T'\eta'\,dx =-2\alpha\int_0^L T''\eta\,dx.$$

したがって停留条件は $T''=0$、すなわち $T_*(x)=T_0+(T_L-T_0)x/L$。さらに

$$P[T_*+\eta]=P[T_*]+\alpha\int_0^L(\eta')^2dx\ge P[T_*]$$

なので、この定常分布は最小値 $\alpha(T_L-T_0)^2/L$ を与える。

Reference

• 大阪大学公式原題：平成30年度（平成29年8月実施）、機械科学I、PDF 1–2ページ