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大阪大学 基礎工学研究科 機能創成専攻（機械科学）2018年度 機械科学I 問題1

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Author​

祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

Description​

(1) モル定積比熱 cvc_v、モル定圧比熱 cpc_p が一定の理想気体を考える。気体定数を RR、初期状態1の圧力・体積・温度を p1,V1,T1p_1,V_1,T_1 とする。サイクルAは次の三過程からなる。

  • 1→21\to2：断熱した気体を真空中へ急激に膨張させ、体積 V2>V1V_2>V_1 の平衡状態にする。
  • 2→32\to3：体積 V2V_2 を保ち、圧力が p1p_1 になるまでゆっくり加熱する。
  • 3→13\to1：圧力 p1p_1 を保ち、体積が V1V_1 になるまでゆっくり圧縮する。

(a) 温度 T2,T3T_2,T_3 を求めよ。(b) サイクルAへの熱力学第一法則から cp−cv=Rc_p-c_v=R を導け。(c) 熱源から気体に入る微小熱量を δQ\delta Q、その熱源の温度を TT とするとき、∮δQ/T\oint\delta Q/T を求め、可逆性を判定せよ。(d) 1→21\to2 を温度 T1T_1 の熱源と接触させたゆっくりした等温膨張に置き換えたサイクルBについて、同じ積分と可逆性を求めよ。(e) 1→21\to2 をゆっくりした断熱膨張に置き換えたサイクルCも考え、A・B・Cの一周で気体が外部からされる仕事を比較せよ。

(2) 長さ LL の物体内で xx 方向だけに定常熱伝導が起こる。熱伝導率は k=αTβk=\alpha T^\beta（α>0, β≠−1\alpha>0,\ \beta\ne-1）、境界温度は T(0)=T0,T(L)=TLT(0)=T_0,T(L)=T_L とする。

(a) T(x)T(x) を求めよ。(b) +x+x 方向の熱流束を求めよ。(c) 通常、温度上昇とともに金属の熱伝導率が減少し、気体の熱伝導率が増加する理由を、熱の担い手に着目して説明せよ。(d) ∣T0−TL∣/T0≪1|T_0-T_L|/T_0\ll1 とし、β=0\beta=0 の場合、定常温度分布が固定した境界温度の下で P=∫0Lk(T′)2 dxP=\int_0^Lk(T')^2\,dx を停留させることを示せ。

题目描述​

(1) 定比热理想气体从状态 (p1,V1,T1)(p_1,V_1,T_1) 出发：先绝热自由膨胀到 V2>V1V_2>V_1，再等容缓慢加热至压力 p1p_1，最后等压缓慢压缩回初态。求各状态温度；用第一定律推导迈耶关系；求以热源温度为分母的克劳修斯循环积分并判断可逆性。将第一段分别改为温度 T1T_1 下的缓慢等温膨胀、缓慢绝热膨胀，求前者的循环积分，并比较三个循环中外界对气体做的功。

(2) 长度 LL 的物体发生一维稳态导热，k=αTβk=\alpha T^\beta，端点温度为 T0,TLT_0,T_L。求温度分布、沿 +x+x 的热流密度；解释金属与气体导热系数的温度变化趋势；小温差且导热系数恒定时，证明稳态分布使固定端点温度下的 ∫0Lk(T′)2dx\int_0^Lk(T')^2dx 取驻值。

Kai​

(1)(a)​

物質量を n=p1V1/(RT1)n=p_1V_1/(RT_1)、r=V2/V1>1r=V_2/V_1>1 とする。自由膨張では熱も仕事もゼロなので、ΔU=ncv(T2−T1)=0\Delta U=nc_v(T_2-T_1)=0。理想気体の状態方程式から

T2=T1,T3=rT1.\boxed{T_2=T_1,\qquad T_3=rT_1}.

(1)(b)​

一周の吸熱量と気体がする仕事は

Q=ncv(T3−T2)+ncp(T1−T3)=n(cv−cp)T1(r−1),Wby=−p1(V2−V1).Q=nc_v(T_3-T_2)+nc_p(T_1-T_3)=n(c_v-c_p)T_1(r-1), \qquad W_{\rm by}=-p_1(V_2-V_1).

一周では ΔU=0\Delta U=0 だから Q=WbyQ=W_{\rm by}。p1V1=nRT1p_1V_1=nRT_1 を用いて

cp−cv=R.\boxed{c_p-c_v=R}.

(1)(c)​

ゆっくりした熱交換では熱源と気体の温度差を無限小とする可逆熱交換の極限を用いる。自由膨張中は δQ=0\delta Q=0 なので

∮AδQT=0+ncvln⁡T3T2+ncpln⁡T1T3=−nRln⁡r<0.\oint_A\frac{\delta Q}{T} =0+nc_v\ln\frac{T_3}{T_2}+nc_p\ln\frac{T_1}{T_3} =\boxed{-nR\ln r<0}.

サイクルAは不可逆である。自由膨張における気体のエントロピー増加は nRln⁡rnR\ln r であり、断熱でもゼロにはならない。有限温度差の熱交換を仮定すると追加の不可逆性が生じるため、上の積分値とは区別する。

(1)(d)​

等温膨張の吸熱量は Q12=nRT1ln⁡rQ_{12}=nRT_1\ln r。残りの二過程はAと同じなので

∮BδQT=nRln⁡r−nRln⁡r=0.\oint_B\frac{\delta Q}{T}=nR\ln r-nR\ln r=\boxed{0}.

摩擦や有限温度差の熱交換がない理想化の下で、Bは可逆である。

(1)(e)​

γ=cp/cv>1\gamma=c_p/c_v>1 とする。膨張時に気体がする仕事は

WA=0,WB=p1V1ln⁡r,WC=∫V1V2p1(V1V)γdV=p1V1γ−1(1−r1−γ).W_A=0,\qquad W_B=p_1V_1\ln r,\qquad W_C=\int_{V_1}^{V_2}p_1\left(\frac{V_1}{V}\right)^\gamma dV =\frac{p_1V_1}{\gamma-1}(1-r^{1-\gamma}).

z=(γ−1)ln⁡r>0z=(\gamma-1)\ln r>0 に対する 0<1−e−z<z0<1-e^{-z}<z より 0<WC<WB0<W_C<W_B。各サイクルで共通の圧縮仕事は p1(V2−V1)p_1(V_2-V_1) であるから

Won,A>Won,C>Won,B.\boxed{W_{{\rm on},A}>W_{{\rm on},C}>W_{{\rm on},B}}.

(2)(a), (b)​

定常状態では qx=−kT′q_x=-kT' は一定であり、αTβT′=−qx\alpha T^\beta T'=-q_x を積分すると

T(x)=[T0β+1+TLβ+1−T0β+1Lx]1/(β+1),\boxed{T(x)=\left[T_0^{\beta+1}+ \frac{T_L^{\beta+1}-T_0^{\beta+1}}{L}x\right]^{1/(\beta+1)}},
qx=α(β+1)L(T0β+1−TLβ+1).\boxed{q_x=\frac{\alpha}{(\beta+1)L} \left(T_0^{\beta+1}-T_L^{\beta+1}\right)}.

絶対温度が正の範囲で用いる。T0>TLT_0>T_L なら qx>0q_x>0 である。

(2)(c)​

金属では主に伝導電子が熱を運ぶ。温度上昇に伴う格子振動の増大は電子散乱を増やし、電子の平均自由行程を短くするため、熱伝導率を低下させる方向に働く。ただし電子比熱なども変化するので、温度依存性は金属と温度域による。

気体では分子の熱運動が熱を運ぶ。分子の平均速度はおおむね T\sqrt T に比例して増え、単純な分子運動論では単位体積当たりの熱容量と平均自由行程の積の密度依存性が打ち消し合う。そのため熱伝導率は温度とともに増加する。

(2)(d)​

k=αk=\alpha 一定とし、端点でゼロになる任意の変分 η\eta を用いると

δP=2α∫0LT′η′ dx=−2α∫0LT′′η dx.\delta P=2\alpha\int_0^L T'\eta'\,dx =-2\alpha\int_0^L T''\eta\,dx.

したがって停留条件は T′′=0T''=0、すなわち T∗(x)=T0+(TL−T0)x/LT_*(x)=T_0+(T_L-T_0)x/L。さらに

P[T∗+η]=P[T∗]+α∫0L(η′)2dx≥P[T∗]P[T_*+\eta]=P[T_*]+\alpha\int_0^L(\eta')^2dx\ge P[T_*]

なので、この定常分布は最小値 α(TL−T0)2/L\alpha(T_L-T_0)^2/L を与える。

Reference​

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