大阪大学 基礎工学研究科 機能創成専攻（機械科学）2018年度 機械科学II 問題3

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• 欧拉–伯努利梁
• 受迫振动

Author

祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

Description

長さ $L$、断面積 $A$、断面二次モーメント $I$、ヤング率 $E$、密度 $\rho$ が一定の片持ちはりを考える。$x=0$ を固定端、$x=L$ を自由端とする。たわみ $y(x,t)$ と分布荷重 $p(x,t)$ は下向きを正とする。曲げモーメント $M$ は上側が圧縮となる向き、せん断力 $S$ は $+x$ 向きの断面で下向きを正とする。せん断変形、回転慣性、減衰、自重を無視する。

1. 微小区間のモーメントのつり合いから $M$ と $S$ の関係を求めよ。$dx$ の二次以上を無視する。
2. 微小区間の鉛直方向の運動方程式を書け。
3. $M/(EI)=-\partial^2y/\partial x^2$ を用いて、はりの運動方程式を導け。
4. $p=0$ で $y=X(x)T(t)$ とおき、$X,T$ が満たす式を導け。
5. 固定端と自由端の境界条件から固有角振動数 $\omega_i$ と固有関数 $X_i(x)$ を求めよ。固有関数の定数倍は任意とする。
6. 初期条件 $y(x,0)=\phi_0(x),\ \partial y(x,0)/\partial t=0$ に対する自由振動を $X_i$ で表せ。
7. $p(x,t)=F_0\delta(x-L/2)\sin\omega t$ に対し、角振動数 $\omega$ で振動する解を求めよ。

题目描述

均匀悬臂梁长 $L$，截面积 $A$，截面惯性矩 $I$，杨氏模量 $E$，密度 $\rho$；左端固定、右端自由。挠度与分布载荷以下为正，弯矩以上侧压缩为正，正向截面上的剪力以下为正。忽略剪切变形、转动惯量、阻尼和自重。由微段力矩平衡及运动方程推导梁振动方程，分离变量求固有频率、振型及任意初挠度与零初速度下的自由振动，最后求梁中点受正弦集中力时以驱动频率振动的解。

Kai

(1), (2)

微小区間の右端まわりのモーメントのつり合いは

$$M+S\,dx-(M+M_xdx)=0, \qquad\boxed{S=M_x}.$$

回転慣性は問題の仮定により無視している。鉛直方向の運動方程式は

$$\rho A\,dx\,y_{tt}=(S+S_xdx)-S+p\,dx, \qquad\boxed{\rho Ay_{tt}=S_x+p}.$$

(3), (4)

$S_x=M_{xx}=-EIy_{xxxx}$ だから

$$\boxed{\rho Ay_{tt}+EIy_{xxxx}=p}.$$

$p=0$、$y=XT$ を代入し、分離定数を $-\omega^2$ とおくと

$$\boxed{\ddot T+\omega^2T=0},\qquad \boxed{X''''-\beta^4X=0},\qquad \beta^4=\frac{\rho A\omega^2}{EI}.$$

(5)

一般解は $X=A_1\cos\beta x+A_2\sin\beta x+A_3\cosh\beta x+A_4\sinh\beta x$。固定端条件 $X(0)=X'(0)=0$ より

$$X=C_1(\cos\beta x-\cosh\beta x) +C_2(\sin\beta x-\sinh\beta x).$$

自由端では $M(L)=S(L)=0$、すなわち $X''(L)=X'''(L)=0$。非自明な解が存在する条件は

$$\boxed{\cos(\beta_iL)\cosh(\beta_iL)=-1},\qquad \boxed{\omega_i=\beta_i^2\sqrt{\frac{EI}{\rho A}}}.$$

正の根を小さい順に取ると $\beta_iL=1.875104\ldots,4.694091\ldots,7.854757\ldots$。固有関数は

$$\boxed{X_i(x)=C_i\{\cos\beta_ix-\cosh\beta_ix -\sigma_i(\sin\beta_ix-\sinh\beta_ix)\}}, \qquad \sigma_i=\frac{\cos\beta_iL+\cosh\beta_iL} {\sin\beta_iL+\sinh\beta_iL},$$

と書ける。$C_i\ne0$ は任意である。

(6)

境界条件の下で微分作用素は自己共役であり、異なる固有関数は $\int_0^LX_iX_jdx=0$ を満たす。$N_i=\int_0^LX_i^2dx$ とおくと

$$\boxed{y(x,t)=\sum_{i=1}^{\infty} \frac{\int_0^L\phi_0(\xi)X_i(\xi)\,d\xi}{N_i} X_i(x)\cos\omega_it}.$$

(7)

$y=\sum_iq_i(t)X_i(x)$ とし、$X_i$ に射影すると

$$\ddot q_i+\omega_i^2q_i =\frac{F_0X_i(L/2)}{\rho AN_i}\sin\omega t.$$

励起される固有角振動数と $\omega$ が一致しなければ、求める調和解は

$$\boxed{y(x,t)=\sin\omega t\sum_{i=1}^{\infty} \frac{F_0X_i(L/2)X_i(x)}{\rho AN_i(\omega_i^2-\omega^2)}}.$$

自由振動を加えれば一般解となる。$\omega=\omega_j$ かつ $X_j(L/2)\ne0$ では有界な調和解は存在せず、共振項は

$$q_j(t)=-\frac{F_0X_j(L/2)}{2\rho AN_j\omega_j} \,t\cos\omega_jt$$

となる。加振点での $X_i(L/2)$ は励起の強さを左右するが、応答振幅の比較には $N_i$ と $\omega_i^2-\omega^2$ も必要である。

Reference

• 大阪大学公式原題：平成30年度（平成29年8月実施）、機械科学II、PDF 4–5ページ