大阪大学 基礎工学研究科 機能創成専攻（機械科学） 2017年8月実施 機械科学II 問題3

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• 大阪大学
• 欧拉–伯努利梁
• 受迫振动

Author

祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

Description

問題3

図2-6に示すように，一端が固定され，他端が自由な，はりの微小な曲げ振動を考える。時刻 $t$ で，はりの中心線に沿う座標 $x$ における $y$ 方向のたわみを $y(x,t)$ とし，はりの断面積を $A$，断面2次モーメントを $I$，材料の縦弾性係数を $E$，密度を $\rho$，$x$ 断面に作用する曲げモーメントおよびせん断力をそれぞれ $M$ および $S$，はりに作用する $y$ 方向の外力の分布を $p(x,t)$ とする。たわみ $y(x,t)$ は下向きを正とし，モーメント $M$ ははりの上側圧縮を正，せん断力 $S$ は下向きを正とする。はりの全長は $L$ であり，$A,I,\rho$ は全長にわたって一定とする。はりの断面の重心が $x$ 軸上にある直線ばりを考え，粘性減衰，せん断変形，回転および重力の影響は無視できるものとする。このとき，以下の問に答えよ。

(1) 微小要素 $dx$ に注目し，モーメントのつりあいを $M,S,x$ を用いて示せ。ここで，たわみは微小であるとし，$dx$ の2次以上の項を無視するものとする。

(2) 微小要素 $dx$ の運動方程式を $\rho,A,S,p,y,x,t$ を用いて示せ。

(3) 傾き角 $\partial y/\partial x$ が十分小さいとき，曲げモーメントとたわみの関係は

$$\frac M{EI}=-\frac{\partial^2y}{\partial x^2}$$

で与えられる。このとき，問(1)の結果を考慮して，問(2)の運動方程式が

$$\rho A\frac{\partial^2y}{\partial t^2} =-EI\frac{\partial^4y}{\partial x^4}+p(x,t)$$

と書けることを示せ。

次に，$p(x,t)=0$ の場合について考える。

(4) $y(x,t)=X(x)T(t)$ と変数分離するとき，$X(x)$ および $T(t)$ の満たすべき常微分方程式を導出せよ。

(5) $x=0$ が固定端，$x=L$ が自由端である場合について，固有角振動数 $\omega_i$ の満たすべき方程式を導出し，$i$ 次の固有関数 $X_i(x)\ (i=1,2,\ldots)$ を任意定数を含む形で示せ。

(6) 初期条件が，$\left.y\right|_{t=0}=\phi_0(x),\ \left.\dfrac{\partial y}{\partial t}\right|_{t=0}=0$ で与えられるとき，$y(x,t)$ を $X_i(x)$ を用いて示せ。

次に，$x=L/2$ の位置に $p(x,t)=F_0\delta(x-L/2)\sin\omega t$ の外力が与えられる場合について考える。ただし，$\delta(x)$ はデルタ関数である。

(7) 角振動数 $\omega$ で振動する解 $y(x,t)$ を $X_i(x)$ を用いて示せ。

题目描述

问题3

如图2-6，考虑一端固定、另一端自由的梁的微小弯曲振动。时刻 $t$，沿梁中心线坐标 $x$ 处的 $y$ 方向挠度记为 $y(x,t)$。梁的截面积为 $A$，截面二次矩为 $I$，材料纵向弹性模量为 $E$，密度为 $\rho$；$x$ 截面上的弯矩和剪力分别为 $M,S$，梁上沿 $y$ 方向的外力分布为 $p(x,t)$。挠度 $y(x,t)$ 以向下为正，弯矩 $M$ 以使梁上侧受压为正，剪力 $S$ 以向下为正。梁全长为 $L$，$A,I,\rho$ 沿全长恒定。考虑截面质心位于 $x$ 轴上的直梁，忽略黏性阻尼、剪切变形、转动及重力的影响。回答下列问题。

(1) 考察微元 $dx$，用 $M,S,x$ 表示力矩平衡。设挠度为微小量，忽略 $dx$ 的二次及以上项。

(2) 用 $\rho,A,S,p,y,x,t$ 表示微元 $dx$ 的运动方程。

(3) 当斜率 $\partial y/\partial x$ 足够小时，弯矩和挠度满足

$$\frac M{EI}=-\frac{\partial^2y}{\partial x^2}.$$

结合第(1)问的结果，证明第(2)问的运动方程可写为

$$\rho A\frac{\partial^2y}{\partial t^2} =-EI\frac{\partial^4y}{\partial x^4}+p(x,t).$$

图2-6的两部分分别给出梁的尺寸与分布载荷，以及微元所受的剪力和弯矩方向。

接下来考虑 $p(x,t)=0$ 的情况。

(4) 令 $y(x,t)=X(x)T(t)$ 分离变量，推导 $X(x),T(t)$ 应满足的常微分方程。

(5) 对 $x=0$ 固定、$x=L$ 自由的情况，推导固有角频率 $\omega_i$ 应满足的方程，并给出含任意常数的第 $i$ 阶固有函数 $X_i(x)\ (i=1,2,\ldots)$。

(6) 当初始条件为 $\left.y\right|_{t=0}=\phi_0(x),\ \left.\dfrac{\partial y}{\partial t}\right|_{t=0}=0$ 时，用 $X_i(x)$ 表示 $y(x,t)$。

接下来考虑在 $x=L/2$ 位置施加外力 $p(x,t)=F_0\delta(x-L/2)\sin\omega t$ 的情况，其中 $\delta(x)$ 为狄拉克δ函数。

(7) 用 $X_i(x)$ 表示以角频率 $\omega$ 振动的解 $y(x,t)$。

Kai

(1), (2)

微小区間の右端まわりのモーメントのつり合いは

$$M+S\,dx-(M+M_xdx)=0, \qquad\boxed{S=M_x}.$$

回転慣性は問題の仮定により無視している。鉛直方向の運動方程式は

$$\rho A\,dx\,y_{tt}=(S+S_xdx)-S+p\,dx, \qquad\boxed{\rho Ay_{tt}=S_x+p}.$$

(3), (4)

$S_x=M_{xx}=-EIy_{xxxx}$ だから

$$\boxed{\rho Ay_{tt}+EIy_{xxxx}=p}.$$

$p=0$、$y=XT$ を代入し、分離定数を $-\omega^2$ とおくと

$$\boxed{\ddot T+\omega^2T=0},\qquad \boxed{X''''-\beta^4X=0},\qquad \beta^4=\frac{\rho A\omega^2}{EI}.$$

(5)

一般解は $X=A_1\cos\beta x+A_2\sin\beta x+A_3\cosh\beta x+A_4\sinh\beta x$。固定端条件 $X(0)=X'(0)=0$ より

$$X=C_1(\cos\beta x-\cosh\beta x) +C_2(\sin\beta x-\sinh\beta x).$$

自由端では $M(L)=S(L)=0$、すなわち $X''(L)=X'''(L)=0$。非自明な解が存在する条件は

$$\boxed{\cos(\beta_iL)\cosh(\beta_iL)=-1},\qquad \boxed{\omega_i=\beta_i^2\sqrt{\frac{EI}{\rho A}}}.$$

正の根を小さい順に取ると $\beta_iL=1.875104\ldots,4.694091\ldots,7.854757\ldots$。固有関数は

$$\begin{gathered} \boxed{X_i(x)=C_i\{\cos\beta_ix-\cosh\beta_ix -\sigma_i(\sin\beta_ix-\sinh\beta_ix)\}},\\ \sigma_i=\frac{\cos\beta_iL+\cosh\beta_iL} {\sin\beta_iL+\sinh\beta_iL}, \end{gathered}$$

と書ける。$C_i\ne0$ は任意である。

(6)

境界条件の下で微分作用素は自己共役であり、異なる固有関数は $\int_0^LX_iX_jdx=0$ を満たす。$N_i=\int_0^LX_i^2dx$ とおくと

$$\boxed{y(x,t)=\sum_{i=1}^{\infty} \frac{\int_0^L\phi_0(\xi)X_i(\xi)\,d\xi}{N_i} X_i(x)\cos\omega_it}.$$

(7)

$y=\sum_iq_i(t)X_i(x)$ とし、$X_i$ に射影すると

$$\ddot q_i+\omega_i^2q_i =\frac{F_0X_i(L/2)}{\rho AN_i}\sin\omega t.$$

励起される固有角振動数と $\omega$ が一致しなければ、求める調和解は

$$\boxed{y(x,t)=\sin\omega t\sum_{i=1}^{\infty} \frac{F_0X_i(L/2)X_i(x)}{\rho AN_i(\omega_i^2-\omega^2)}}.$$

自由振動を加えれば一般解となる。$\omega=\omega_j$ かつ $X_j(L/2)\ne0$ では有界な調和解は存在せず、共振項は

$$q_j(t)=-\frac{F_0X_j(L/2)}{2\rho AN_j\omega_j} \,t\cos\omega_jt$$

となる。加振点での $X_i(L/2)$ は励起の強さを左右するが、応答振幅の比較には $N_i$ と $\omega_i^2-\omega^2$ も必要である。

Reference

• 大阪大学公式原題：平成30年度（平成29年8月実施）、機械科学II、PDF 4–5ページ