大阪大学 基礎工学研究科 機能創成専攻（機械科学）2018年度 機械科学II 問題2

标签：

• 大阪大学
• 扭转

Author

祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

Description

せん断弾性係数 $G$、長さ $L$ の円管に軸まわりのねじりトルク $T$ が作用する。

1. 内径 $d_1$、外径 $d_2$ の円管の断面二次極モーメント $I_p$ を導け。
2. 両端の相対ねじれ角 $\Phi$ を求めよ。
3. 肉厚 $t$、平均直径 $d$（内径 $d-t$、外径 $d+t$）について、$t\ll d$ のとき $I_p\simeq\pi d^3t/4$ を導け。
4. 平均直径 $d_0$、肉厚 $t\ll d_0$ の一様な薄肉円管について、肉厚方向に一定とみなしたせん断応力 $\tau_0$ とねじれ角 $\Phi_0$ を求めよ。
5. 平均直径が端Aの $d_0$ から端Bの $\alpha d_0$（$\alpha>0$）へ長さ方向に線形に変化する薄肉円管を考える。肉厚 $t$ は一定とする。端A、Bのせん断応力 $\tau_A,\tau_B$ を求め、大小を比較せよ。
6. Aからの距離を $x$ として $I_p(x)$ を求めよ。
7. この管のねじれ角 $\Phi_1$ と比 $\Phi_1/\Phi_0$ を求めよ。

题目描述

剪切模量为 $G$、长为 $L$ 的圆管承受扭矩 $T$。由内外径推导极惯性矩及扭转角，再用平均直径 $d$ 和壁厚 $t\ll d$ 导出薄壁近似。求均匀薄壁管的剪应力和扭角；对平均直径从A端 $d_0$ 沿轴向线性变为B端 $\alpha d_0$、壁厚恒定的圆管，求两端应力、沿程极惯性矩、总扭角及其与均匀管扭角的比值。

Kai

(1), (2)

断面上の半径を $r$ とすると

$$\boxed{I_p=\int_{d_1/2}^{d_2/2}r^2(2\pi r)\,dr =\frac\pi{32}(d_2^4-d_1^4)}.$$

ねじり率は $d\Phi/dx=T/(GI_p)$ なので、一様管では

$$\boxed{\Phi=\frac{TL}{GI_p}}.$$

(3)

平均直径の定義に注意して $d_2=d+t,d_1=d-t$ を代入すると

$$I_p=\frac\pi{32}\{(d+t)^4-(d-t)^4\} =\frac{\pi d^3t}{4}+\frac{\pi dt^3}{4} \simeq\boxed{\frac{\pi d^3t}{4}}.$$

省略項と主項の比は $(t/d)^2$、厳密値に対する相対誤差は $(t/d)^2/[1+(t/d)^2]$ である。

(4)

薄肉近似で壁の半径を $d_0/2$ とみなすと

$$\boxed{\tau_0=\frac{T(d_0/2)}{I_p} =\frac{2T}{\pi d_0^2t}},\qquad \boxed{\Phi_0=\frac{4TL}{\pi Gd_0^3t}}.$$

(5)

各断面に伝わるトルクは同じ $T$ であるから

$$\boxed{\tau_A=\frac{2T}{\pi d_0^2t},\qquad \tau_B=\frac{2T}{\pi\alpha^2d_0^2t}=\frac{\tau_A}{\alpha^2}}.$$

応力の大きさは、$\alpha>1$ なら $|\tau_A|>|\tau_B|$、$\alpha=1$ なら等しく、$0<\alpha<1$ なら逆となる。

(6)

平均直径は $d(x)=d_0[1+(\alpha-1)x/L]$ なので

$$\boxed{I_p(x)=\frac{\pi d_0^3t}{4} \left[1+(\alpha-1)\frac xL\right]^3}.$$

薄肉近似は管全体で $t\ll\min(d_0,\alpha d_0)$ を要する。

(7)

各微小区間のねじれ角を足し合わせる。

$$\Phi_1=\int_0^L\frac{T}{GI_p(x)}\,dx =\frac{4T}{\pi Gd_0^3t} \int_0^L\frac{dx}{[1+(\alpha-1)x/L]^3}.$$

$\alpha\ne1$ では積分は $L(\alpha+1)/(2\alpha^2)$、$\alpha=1$ でもその連続極限は $L$ である。したがって

$$\boxed{\Phi_1=\frac{2TL(\alpha+1)}{\pi Gd_0^3t\alpha^2}},\qquad \boxed{\frac{\Phi_1}{\Phi_0}=\frac{\alpha+1}{2\alpha^2}}.$$

$\alpha=1$ で比は1となる。$\alpha\to0$ の形式的な発散は細い側のねじり剛性低下を表すが、固定した肉厚のまま極限まで薄肉近似を適用することはできない。

Reference

• 大阪大学公式原題：平成30年度（平成29年8月実施）、機械科学II、PDF 3ページ