大阪大学 基礎工学研究科 機能創成専攻（機械科学） 2017年8月実施 機械科学II 問題2

标签：

• 大阪大学
• 扭转

Author

祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

Description

問題2

長さ $L$，せん断弾性係数（剛性率）$G$ を持つ円管のねじり変形について，以下の問に答えよ。

(1) 図2-2は，内径 $d_1$，外径 $d_2$ の円管の断面である。この断面の断面二次極モーメント（極慣性モーメント）を導出せよ。

(2) この長さ $L$ の円管の両端にトルク $T$ が作用しているとき，ねじり角 $\phi$ を求めよ。

以下の問では，図2-3に示すような直径 $d$ に比べて肉厚 $t$（一定）が非常に小さい（$t\ll d$）断面を持つ薄肉円管について考える。

(3) この薄肉円管の断面二次極モーメント $I_p$ が，次式で与えられることを，(1)の結果より導け。

$$I_p=\frac{\pi d^3t}{4}$$

(4) 図2-4に示すように，直径 $d=d_0$ の薄肉円管 AB の両端にトルク $T$ が作用しているとき，この薄肉円管断面に作用するせん断応力 $\tau_0$ とねじり角 $\phi_0$ を求めよ。ただし，薄肉のため円管断面内のせん断応力は一定とする。

次に，図2-5に示すような長さ $L$，肉厚 $t$ の緩やかなテーパーの付いた薄肉円管 AB の両端にトルク $T$ が作用している場合を考える。A，B での直径はそれぞれ $d_0,\alpha d_0\ (\alpha>0)$ であり，管材のせん断弾性係数（剛性率）は $G$ である。また，A から B に向かって $x$ 軸をとる。

(5) A，B でのせん断応力 $\tau_A$ と $\tau_B$ を求め，それらの大小関係を示せ。

(6) 位置 $x$ における断面二次極モーメント $I_p(x)$ を求めよ。

(7) テーパー付き薄肉円管 AB のねじり角 $\phi_1$ を求め，比 $\phi_1/\phi_0$ を $\alpha$ を用いて示せ。

题目描述

问题2

关于长度为 $L$、剪切模量（刚性率）为 $G$ 的圆管的扭转变形，回答下列问题。

(1) 图2-2为内径 $d_1$、外径 $d_2$ 的圆管截面，推导该截面的截面极二次矩（极惯性矩）。

(2) 当该长度为 $L$ 的圆管两端受到扭矩 $T$ 时，求扭转角 $\phi$。

以下考虑图2-3所示薄壁圆管，其恒定壁厚 $t$ 远小于直径 $d$，即 $t\ll d$。

(3) 利用第(1)问的结果，推导该薄壁圆管的截面极二次矩

$$I_p=\frac{\pi d^3t}{4}.$$

(4) 如图2-4，直径为 $d=d_0$ 的薄壁圆管 AB 两端受到扭矩 $T$，求该管截面上的剪应力 $\tau_0$ 和扭转角 $\phi_0$。由于管壁很薄，设管截面内剪应力均匀。

接下来考虑图2-5所示长度 $L$、壁厚 $t$、带有缓慢锥度的薄壁圆管 AB，两端受到扭矩 $T$。A、B 处的直径分别为 $d_0,\alpha d_0$，其中 $\alpha>0$，管材剪切模量为 $G$。取从 A 指向 B 的方向为 $x$ 轴。

(5) 求 A、B 处的剪应力 $\tau_A,\tau_B$，并给出它们的大小关系。

(6) 求位置 $x$ 处的截面极二次矩 $I_p(x)$。

(7) 求带锥度薄壁圆管 AB 的扭转角 $\phi_1$，并用 $\alpha$ 表示比值 $\phi_1/\phi_0$。

图2-2、2-3保留各直径与壁厚的定义，图2-4、2-5保留扭矩方向、管长及轴向坐标。

Kai

(1), (2)

断面上の半径を $r$ とすると

$$\boxed{I_p=\int_{d_1/2}^{d_2/2}r^2(2\pi r)\,dr =\frac\pi{32}(d_2^4-d_1^4)}.$$

ねじり率は $d\Phi/dx=T/(GI_p)$ なので、一様管では

$$\boxed{\Phi=\frac{TL}{GI_p}}.$$

(3)

平均直径の定義に注意して $d_2=d+t,d_1=d-t$ を代入すると

$$I_p=\frac\pi{32}\{(d+t)^4-(d-t)^4\} =\frac{\pi d^3t}{4}+\frac{\pi dt^3}{4} \simeq\boxed{\frac{\pi d^3t}{4}}.$$

省略項と主項の比は $(t/d)^2$、厳密値に対する相対誤差は $(t/d)^2/[1+(t/d)^2]$ である。

(4)

薄肉近似で壁の半径を $d_0/2$ とみなすと

$$\boxed{\tau_0=\frac{T(d_0/2)}{I_p} =\frac{2T}{\pi d_0^2t}},\qquad \boxed{\Phi_0=\frac{4TL}{\pi Gd_0^3t}}.$$

(5)

各断面に伝わるトルクは同じ $T$ であるから

$$\boxed{\tau_A=\frac{2T}{\pi d_0^2t},\qquad \tau_B=\frac{2T}{\pi\alpha^2d_0^2t}=\frac{\tau_A}{\alpha^2}}.$$

応力の大きさは、$\alpha>1$ なら $|\tau_A|>|\tau_B|$、$\alpha=1$ なら等しく、$0<\alpha<1$ なら逆となる。

(6)

平均直径は $d(x)=d_0[1+(\alpha-1)x/L]$ なので

$$\boxed{I_p(x)=\frac{\pi d_0^3t}{4} \left[1+(\alpha-1)\frac xL\right]^3}.$$

薄肉近似は管全体で $t\ll\min(d_0,\alpha d_0)$ を要する。

(7)

各微小区間のねじれ角を足し合わせる。

$$\Phi_1=\int_0^L\frac{T}{GI_p(x)}\,dx =\frac{4T}{\pi Gd_0^3t} \int_0^L\frac{dx}{[1+(\alpha-1)x/L]^3}.$$

$\alpha\ne1$ では積分は $L(\alpha+1)/(2\alpha^2)$、$\alpha=1$ でもその連続極限は $L$ である。したがって

$$\boxed{\Phi_1=\frac{2TL(\alpha+1)}{\pi Gd_0^3t\alpha^2}},\qquad \boxed{\frac{\Phi_1}{\Phi_0}=\frac{\alpha+1}{2\alpha^2}}.$$

$\alpha=1$ で比は1となる。$\alpha\to0$ の形式的な発散は細い側のねじり剛性低下を表すが、固定した肉厚のまま極限まで薄肉近似を適用することはできない。

Reference

• 大阪大学公式原題：平成30年度（平成29年8月実施）、機械科学II、PDF 3ページ