大阪大学 基礎工学研究科 機能創成専攻（機械科学）2018年度 機械科学II 問題1

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• 可分离变量的常微分方程
• 友矩阵

Author

祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

Description

(1) 時刻 $t=0$ に $P=(0,a)$、$Q=(0,0)$（$a>0$）とする。$Q$ は $x$ 軸の正方向へ一定速度 $V_Q>0$ で動き、$P$ は常に $Q$ を向いて一定速度 $V_P>0$ で追う。$P$ の座標を $(x,y)$、$k=V_Q/V_P$ とする。

(a) 軌道の傾き $dy/dx$ を $x,y,t,V_Q$ で表せ。(b) $u=dx/dy$ とおき、$y\,du/dy=k\sqrt{1+u^2}$、$u(a)=0$ を導け。(c) $f(u)=u+\sqrt{1+u^2}$ に対する $f'(u)/f(u)$ を求めよ。(d) $k=1$ の軌道 $x(y)$ を求めよ。(e) $k\ne1$ の軌道を求めよ。(f) $k<1$ のとき、追いつく時刻を $a,V_P,V_Q$ で表せ。

(2) 数列が $x_{n+2}=x_{n+1}+x_n$（$n\ge0$）を満たす。

(a) $(x_{n+2},x_{n+1})^{\mathsf T}=A(x_{n+1},x_n)^{\mathsf T}$ となる行列 $A$ を求めよ。(b) 固有値 $\lambda_1>\lambda_2$ と、対応する固有ベクトル $u_1=(1,-\lambda_2)^{\mathsf T}$、$u_2=(1,-\lambda_1)^{\mathsf T}$ を求めよ。(c) $A^n$ を求めよ。(d) $x_0=0,x_1=1$ のときの一般項を求めよ。(e) $\lim_{n\to\infty}x_{n+1}/x_n$ を求めよ。

题目描述

(1) $Q$ 从原点沿 $x$ 轴以速度 $V_Q$ 匀速前进；$P$ 从 $(0,a)$ 出发，以速率 $V_P$ 始终朝向 $Q$ 追赶。先求轨迹斜率，令 $u=dx/dy$、$k=V_Q/V_P$ 导出微分方程，再分别求 $k=1$ 和 $k\ne1$ 时的轨迹；当 $k<1$ 时求追及时间。

(2) 对递推式 $x_{n+2}=x_{n+1}+x_n$ 建立二维矩阵递推，求矩阵的特征值、特征向量和 $n$ 次幂；当 $x_0=0,x_1=1$ 时求通项与相邻项之比的极限。

Kai

(1)(a), (b)

追跡方向は $(V_Qt-x,-y)$ なので

$$\boxed{\frac{dy}{dx}=\frac{-y}{V_Qt-x}},\qquad u=\frac{x-V_Qt}{y},\qquad x-yu=V_Qt.$$

$y$ は減少し、速さ一定より $dt/dy=-\sqrt{1+u^2}/V_P$。最後の等式を $y$ で微分すると

$$-y\frac{du}{dy}=V_Q\frac{dt}{dy},\qquad \boxed{y\frac{du}{dy}=k\sqrt{1+u^2}},\qquad u(a)=0.$$

(1)(c)

$$f'(u)=1+\frac{u}{\sqrt{1+u^2}} =\frac{f(u)}{\sqrt{1+u^2}},\qquad \boxed{\frac{f'(u)}{f(u)}=\frac1{\sqrt{1+u^2}}}.$$

これを用いて積分すれば $\log f(u)=k\log(y/a)$。$u=(f-f^{-1})/2$ より

$$u=\frac12\left[\left(\frac ya\right)^k-\left(\frac ya\right)^{-k}\right].$$

(1)(d), (e)

$x(a)=0$ を用いて $u=dx/dy$ を積分する。$k=1$ なら

$$\boxed{x(y)=\frac{y^2-a^2}{4a}+\frac a2\log\frac ay}.$$

$k\ne1$ なら

$$\boxed{x(y)=\frac a2\left[ \frac{(y/a)^{1+k}}{1+k}-\frac{(y/a)^{1-k}}{1-k}\right] +\frac{ak}{1-k^2}}.$$

(1)(f)

$0<k<1$ では $y\to0$ のとき $x\to ak/(1-k^2)$、$yu\to0$。$x-yu=V_Qt$ から

$$\boxed{t_{\rm catch}=\frac{a}{V_P(1-k^2)} =\frac{aV_P}{V_P^2-V_Q^2}}.$$

(2)(a), (b)

$$A=\begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix},\qquad \det(\lambda I-A)=\lambda^2-\lambda-1,$$

$$\boxed{\lambda_1=\frac{1+\sqrt5}{2},\quad \lambda_2=\frac{1-\sqrt5}{2}}.$$

$\lambda_1+\lambda_2=1,\ \lambda_1\lambda_2=-1$ より、指定された $u_1,u_2$ はそれぞれ $Au_j=\lambda_ju_j$ を満たす。

(2)(c)

$P=(u_1\ u_2)$ とおいて $A^n=P\operatorname{diag}(\lambda_1^n,\lambda_2^n)P^{-1}$ を計算すると

$$\boxed{A^n=\frac1{\sqrt5} \begin{pmatrix} \lambda_1^{n+1}-\lambda_2^{n+1}&\lambda_1^n-\lambda_2^n\\ \lambda_1^n-\lambda_2^n&\lambda_1^{n-1}-\lambda_2^{n-1} \end{pmatrix}}.$$

$n=0$ でも右辺は単位行列となる。

(2)(d), (e)

$(x_{n+1},x_n)^{\mathsf T}=A^n(1,0)^{\mathsf T}$ より

$$\boxed{x_n=\frac{\lambda_1^n-\lambda_2^n}{\sqrt5}}.$$

$|\lambda_2/\lambda_1|<1$ なので

$$\boxed{\lim_{n\to\infty}\frac{x_{n+1}}{x_n}=\lambda_1=\frac{1+\sqrt5}{2}}.$$

Reference

• 大阪大学公式原題：平成30年度（平成29年8月実施）、機械科学II、PDF 1–2ページ