大阪大学 基礎工学研究科 機能創成専攻（機械科学） 2017年8月実施 機械科学II 問題1

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• 可分离变量的常微分方程
• 友矩阵

Author

祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

Description

問題1 次の(1)，(2)の両方を解答し，それぞれ別の解答用紙に記入せよ。

(1) $XY$ 平面上（$X\ge0,Y\ge0$）を移動する点 P および点 Q を考える。時刻 $t$ における点 P，点 Q の位置をそれぞれ $P(t),Q(t)$ と表す。$t=0$ のとき，点 P は $P(0)=(0,a)$（ただし，$a>0$）に，点 Q は $Q(0)=(0,0)$ に位置している。その後，点 Q が速さ $V_Q$（ただし，$V_Q>0$）で $X$ 軸上を正方向に移動し始めるのと同時に，点 P は速さ $V_P$（ただし，$V_P>0$）で $\overrightarrow{P(t)Q(t)}$ の方向に向かって移動し続け，点 Q を追跡する（図2-1）。$V_P,V_Q$ は一定であり，点 P の進行経路の接線は常に点 Q の方向を向いているものとする。$P(t)=(x,y)$ とするとき，以下の問に答えよ。

(a) 時刻 $t$ における線分 PQ の傾き $dy/dx$ を $x,y,t,V_Q$ を用いて表せ。

(b) 点 P の経路 $x(y)$ は次の微分方程式で表されることを示せ。ただし，$u=dx/dy,\ k=V_Q/V_P$ とする。

$$y\frac{du}{dy}=k\sqrt{1+u^2},\qquad \left.u\right|_{y=a}=0\tag{1}$$

(c) $f(u)=u+\sqrt{1+u^2}$ について，$\dfrac{df/du}{f(u)}$ を求めよ。

(d) $k=1$ の場合について，(1)式から $x(y)$ を導出せよ。

(e) $k\ne1$ の場合について，(1)式から $x(y)$ を導出せよ。

(f) $k<1$ のとき，点 P は点 Q に追いつくことができる。その時刻を $a,V_P,V_Q$ を用いて表せ。

(2) 漸化式

$$x_{n+2}=x_{n+1}+x_n$$

について以下の問に答えよ。ただし，$n=0,1,2,3,\ldots$ とする。

(a) 上の漸化式を

$$\begin{pmatrix}x_{n+2}\\x_{n+1}\end{pmatrix} =A\begin{pmatrix}x_{n+1}\\x_n\end{pmatrix}$$

の形で表すとき，行列 $A$ を求めよ。

(b) $A$ の固有値 $\lambda_1$ および $\lambda_2$ を求めよ。また，

$$\boldsymbol u_1=\begin{pmatrix}1\\-\lambda_2\end{pmatrix},\qquad \boldsymbol u_2=\begin{pmatrix}1\\-\lambda_1\end{pmatrix}$$

が $\lambda_1$ および $\lambda_2$ にそれぞれ対応する固有ベクトルであることを示せ。

(c) $A^n$ を $\lambda_1$ と $\lambda_2$ を用いて表せ。

(d) $x_0=0,x_1=1$ とするとき，$x_n$ を求めよ。

(e) 問(d)のとき，$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{x_{n+1}}{x_n}$ を求めよ。

题目描述

问题1 第(1)、(2)问均须作答，分别写在不同的答题纸上。

(1) 考虑在 $XY$ 平面第一象限及其边界（$X\ge0,Y\ge0$）运动的点 P、Q。时刻 $t$ 的位置分别记为 $P(t),Q(t)$。在 $t=0$ 时，$P(0)=(0,a)$，其中 $a>0$，且 $Q(0)=(0,0)$。此后，点 Q 以速率 $V_Q>0$ 沿 $X$ 轴正方向开始运动；与此同时，点 P 以速率 $V_P>0$ 持续沿 $\overrightarrow{P(t)Q(t)}$ 方向移动，追踪点 Q，如图2-1。$V_P,V_Q$ 均恒定，P 的运动轨迹切线始终指向 Q。令 $P(t)=(x,y)$，回答下列问题。

(a) 用 $x,y,t,V_Q$ 表示时刻 $t$ 线段 PQ 的斜率 $dy/dx$。

(b) 证明点 P 的轨迹 $x(y)$ 可由下列微分方程表示，其中 $u=dx/dy,\ k=V_Q/V_P$。

$$y\frac{du}{dy}=k\sqrt{1+u^2},\qquad \left.u\right|_{y=a}=0\tag{1}$$

(c) 对 $f(u)=u+\sqrt{1+u^2}$，求 $\dfrac{df/du}{f(u)}$。

(d) 当 $k=1$ 时，从式(1)推导 $x(y)$。

(e) 当 $k\ne1$ 时，从式(1)推导 $x(y)$。

(f) 当 $k<1$ 时，P 能追上 Q。用 $a,V_P,V_Q$ 表示追上的时刻。

(2) 对递推关系

$$x_{n+2}=x_{n+1}+x_n,\qquad n=0,1,2,3,\ldots,$$

回答下列问题。

(a) 将该递推关系写成

$$\begin{pmatrix}x_{n+2}\\x_{n+1}\end{pmatrix} =A\begin{pmatrix}x_{n+1}\\x_n\end{pmatrix}$$

的形式，求矩阵 $A$。

(b) 求 $A$ 的特征值 $\lambda_1,\lambda_2$，并证明

$$\boldsymbol u_1=\begin{pmatrix}1\\-\lambda_2\end{pmatrix},\qquad \boldsymbol u_2=\begin{pmatrix}1\\-\lambda_1\end{pmatrix}$$

分别为对应于 $\lambda_1,\lambda_2$ 的特征向量。

(c) 用 $\lambda_1,\lambda_2$ 表示 $A^n$。

(d) 当 $x_0=0,x_1=1$ 时，求 $x_n$。

(e) 在第(d)问的条件下，求 $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{x_{n+1}}{x_n}$。

Kai

(1)(a), (b)

追跡方向は $(V_Qt-x,-y)$ なので

$$\boxed{\frac{dy}{dx}=\frac{-y}{V_Qt-x}},\qquad u=\frac{x-V_Qt}{y},\qquad x-yu=V_Qt.$$

$y$ は減少し、速さ一定より $dt/dy=-\sqrt{1+u^2}/V_P$。最後の等式を $y$ で微分すると

$$-y\frac{du}{dy}=V_Q\frac{dt}{dy},\qquad \boxed{y\frac{du}{dy}=k\sqrt{1+u^2}},\qquad u(a)=0.$$

(1)(c)

$$f'(u)=1+\frac{u}{\sqrt{1+u^2}} =\frac{f(u)}{\sqrt{1+u^2}},\qquad \boxed{\frac{f'(u)}{f(u)}=\frac1{\sqrt{1+u^2}}}.$$

これを用いて積分すれば $\log f(u)=k\log(y/a)$。$u=(f-f^{-1})/2$ より

$$u=\frac12\left[\left(\frac ya\right)^k-\left(\frac ya\right)^{-k}\right].$$

(1)(d), (e)

$x(a)=0$ を用いて $u=dx/dy$ を積分する。$k=1$ なら

$$\boxed{x(y)=\frac{y^2-a^2}{4a}+\frac a2\log\frac ay}.$$

$k\ne1$ なら

$$\boxed{x(y)=\frac a2\left[ \frac{(y/a)^{1+k}}{1+k}-\frac{(y/a)^{1-k}}{1-k}\right] +\frac{ak}{1-k^2}}.$$

(1)(f)

$0<k<1$ では $y\to0$ のとき $x\to ak/(1-k^2)$、$yu\to0$。$x-yu=V_Qt$ から

$$\boxed{t_{\rm catch}=\frac{a}{V_P(1-k^2)} =\frac{aV_P}{V_P^2-V_Q^2}}.$$

(2)(a), (b)

$$A=\begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix},\qquad \det(\lambda I-A)=\lambda^2-\lambda-1,$$

$$\boxed{\lambda_1=\frac{1+\sqrt5}{2},\quad \lambda_2=\frac{1-\sqrt5}{2}}.$$

$\lambda_1+\lambda_2=1,\ \lambda_1\lambda_2=-1$ より、指定された $u_1,u_2$ はそれぞれ $Au_j=\lambda_ju_j$ を満たす。

(2)(c)

$P=(u_1\ u_2)$ とおいて $A^n=P\operatorname{diag}(\lambda_1^n,\lambda_2^n)P^{-1}$ を計算すると

$$\boxed{A^n=\frac1{\sqrt5} \begin{pmatrix} \lambda_1^{n+1}-\lambda_2^{n+1}&\lambda_1^n-\lambda_2^n\\ \lambda_1^n-\lambda_2^n&\lambda_1^{n-1}-\lambda_2^{n-1} \end{pmatrix}}.$$

$n=0$ でも右辺は単位行列となる。

(2)(d), (e)

$(x_{n+1},x_n)^{\mathsf T}=A^n(1,0)^{\mathsf T}$ より

$$\boxed{x_n=\frac{\lambda_1^n-\lambda_2^n}{\sqrt5}}.$$

$|\lambda_2/\lambda_1|<1$ なので

$$\boxed{\lim_{n\to\infty}\frac{x_{n+1}}{x_n}=\lambda_1=\frac{1+\sqrt5}{2}}.$$

Reference

• 大阪大学公式原題：平成30年度（平成29年8月実施）、機械科学II、PDF 1–2ページ