大阪大学 基礎工学研究科 電子光科学 (システム創成専攻) 2024年度 電子光科学 [I-2]

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• Osaka-University
• Complex-Analysis

Author

祭音Myyura (co-authored with GPT 5.6 SOL)

Description

$\theta$ は実数、$\displaystyle I=\int_0^{2\pi}\frac{d\theta}{1+\sin^2\theta}$ とする。以下の問に答えよ。ただし、$i$ は虚数単位とする。

(1) $z=e^{i\theta}$ とおいて $I$ を $z$ に関する積分で表せ。

(2) 問 (1) で求めた被積分関数の極をすべて求めよ。

(3) $I$ を求めよ。

Kai

(1)

$\sin\theta=(z-z^{-1})/(2i)$、$d\theta=dz/(iz)$ より

$$\boxed{I=\oint_{|z|=1}\frac{4iz}{z^4-6z^2+1}\,dz}$$

（反時計回り）。

(2)

$z^4-6z^2+1=0$ より、極は

$$\boxed{z=\pm(\sqrt2-1),\quad\pm(\sqrt2+1)}$$

で、すべて単純極。

(3)

円内の極 $a=\pm(\sqrt2-1)$ では

$$\operatorname{Res}_{z=a}\frac{4iz}{z^4-6z^2+1} =\frac{4ia}{4a^3-12a}=\frac i{a^2-3}=-\frac i{2\sqrt2}.$$

よって

$$\boxed{I=2\pi i\left(-\frac i{\sqrt2}\right)=\sqrt2\pi}.$$