大阪大学 基礎工学研究科 電子光科学 (システム創成専攻) 2024年度 電子光科学 [I-1]

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Author

祭音Myyura (co-authored with GPT 5.6 SOL)

Description

$f(x)=\tanh^{-1}x+\tan^{-1}x$ $(-1<x<1)$ について、以下の問に答えよ。ただし、$i$ は虚数単位である。

(1) $\displaystyle f(x)=\frac12\left\{\log\left(\frac{1+x}{1-x}\right)-i\log\left(\frac{1+ix}{1-ix}\right)\right\}$ となることを導出せよ。

(2) $\log(1+z)$ $(|z|<1)$ のマクローリン展開を使って、$f(x)$ をマクローリン展開せよ。

Kai

(1)

$u=\tanh^{-1}x$ とおけば $x=(e^{2u}-1)/(e^{2u}+1)$ なので

$$u=\frac12\log\frac{1+x}{1-x}.$$

$v=\tan^{-1}x\in(-\pi/4,\pi/4)$ とおくと $e^{2iv}=(1+ix)/(1-ix)$。主値の対数を取って

$$v=\frac1{2i}\log\frac{1+ix}{1-ix}=-\frac i2\log\frac{1+ix}{1-ix}.$$

両式を加えると所要の式を得る。

(2)

$\log(1+z)=\sum_{n=1}^\infty(-1)^{n-1}z^n/n$ を (1) に用いると

$$\tanh^{-1}x=\sum_{n=0}^\infty\frac{x^{2n+1}}{2n+1},\qquad \tan^{-1}x=\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^nx^{2n+1}}{2n+1}.$$

したがって

$$\boxed{f(x)=2\sum_{k=0}^\infty\frac{x^{4k+1}}{4k+1} =2x+\frac25x^5+\frac29x^9+\cdots\quad(|x|<1)}.$$