大阪大学基礎工学研究科電子光科学 (システム創成専攻) 2023年度電子光科学 [I-3]

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祭音Myyura (co-authored with GPT 5.6 SOL)

パリティ検査行列が次式で表される線形符号について、以下の問に答えよ。

H=\begin{pmatrix} 1&1&0&1&1&0&0&0\\ 1&0&1&1&0&1&0&0\\ 1&1&1&0&0&0&1&0\\ 1&1&1&1&1&1&1&1 \end{pmatrix}.

(1) 情報ベクトル $(1,1,0,0)$ を符号化して、符号語を求めよ。ただし、情報ベクトルは符号語の先頭部分とする。

次に、この線形符号を用いて、誤り率 $p\ll1/2$ の 2 元対称通信路で通信を行うとする。以下の問では、受信語から送信された符号語を推定し、その推定結果とそれが誤りである確率を求めよ。符号語が推定できない場合は、その理由を述べよ。

(2) 受信語 $(0,0,1,1,1,1,0,1)$

(3) 受信語 $(1,0,0,1,0,1,1,0)$

以下、演算は $\mathbb F_2$ 上で行い、最小距離復号を用いる。

$Hv^T=0$ に先頭4ビットを代入すると、 $v_5=0,v_6=1,v_7=0,v_8=1$ 。したがって $\boxed{v=(1,1,0,0,0,1,0,1)}$ 。

受信語を $r$ とすると $Hr^T=(0,1,1,1)^T$ 。これは $H$ の第3列なので、第3ビットを反転して

\boxed{\hat v=(0,0,0,1,1,1,0,1)}.

このシンドロームを生じる誤りパターンは、重み $1,3,5,7$ のものがそれぞれ $1,7,7,1$ 個ある。重み1の場合だけ推定が正しい。したがって、このシンドロームが得られた条件での誤訂正確率は

\boxed{\frac{7p^3(1-p)^5+7p^5(1-p)^3+p^7(1-p)} {p(1-p)^7+7p^3(1-p)^5+7p^5(1-p)^3+p^7(1-p)} =7p^2+O(p^3)}.

情報語が等確率なら、これは当該受信語を観測した条件での誤推定確率にも一致する。

$Hr^T=(0,1,0,0)^T$ 。最後の成分が0なので誤り数は偶数であり、シンドロームは非零なので0個ではない。最小の誤り数は2個で、受信語から距離2にある符号語は

\begin{gathered} (0,1,0,1,0,1,1,0),\quad(1,0,0,0,1,1,1,0),\\ (1,0,0,1,0,0,1,1),\quad(1,0,1,1,0,1,0,0). \end{gathered}

これらの通信路尤度はすべて $p^2(1-p)^6$ で等しい。したがって $\boxed{\text{符号語を一意には推定できない}}$ 。