大阪大学 基礎工学研究科 電子光科学 (システム創成専攻) 2023年度 電子光科学 [I-2]

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• Complex-Analysis
• Fourier-Transform

Author

祭音Myyura (co-authored with GPT 5.6 SOL)

Description

$x,y,u$ は実数、$i$ は虚数単位、$z=x+iy$ とする。関数 $f(z)$ を

$$f(z)=\frac1{1+z^2}$$

とする。以下の問に答えよ。

(1) $f(z)e^{-iuz}$ の特異点での留数をすべて求めよ。

(2) $u>0$ のとき、$\displaystyle F(u)=\int_{-\infty}^\infty f(x)e^{-iux}dx$ を求めよ。

Kai

(1)

単純極 $z=i,-i$ において

$$\boxed{\operatorname{Res}_{z=i}\frac{e^{-iuz}}{1+z^2}=\frac{e^u}{2i},\qquad \operatorname{Res}_{z=-i}\frac{e^{-iuz}}{1+z^2}=-\frac{e^{-u}}{2i}}.$$

(2)

$u>0$ のとき下半平面で $|e^{-iuz}|=e^{u\operatorname{Im}z}\le1$。半径 $R$ の下半円上の積分は絶対値が $\pi R/(R^2-1)$ 以下なので $0$ に収束する。閉路は時計回りであるから

$$F(u)=-2\pi i\operatorname{Res}_{z=-i}\frac{e^{-iuz}}{1+z^2} =\boxed{\pi e^{-u}}.$$