大阪大学 基礎工学研究科 電子光科学 (システム創成専攻) 2023年度 電子光科学 [I-1]

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Author

祭音Myyura (co-authored with GPT 5.6 SOL)

Description

$f(x)=e^{ax}\sin bx$ について以下の問に答えよ。ただし、$a$ と $b$ は 0 でない実数の定数とする。

(1) 不定積分 $\int f(x)dx$ を求めよ。

(2) 広義積分 $\int_0^\infty f(x)dx$ が収束するための $a$ と $b$ の値の範囲とそのときの積分値を求めよ。

Kai

(1)

$e^{(a+ib)x}$ の積分の虚部を取ると

$$\boxed{\int e^{ax}\sin bx\,dx=\frac{e^{ax}(a\sin bx-b\cos bx)}{a^2+b^2}+C}.$$

(2)

$a<0$ なら (1) の原始関数は $x\to\infty$ で $0$ となり、

$$\boxed{\int_0^\infty e^{ax}\sin bx\,dx=\frac b{a^2+b^2}}.$$

$a>0$ では原始関数の振動の振幅が無限に増大し、極限を持たない。したがって収束の条件は $\boxed{a<0,\ b\in\mathbb R\setminus\{0\}}$。