大阪大学基礎工学研究科電子光科学 (システム創成専攻) 2022年度電子光科学 [I-3]

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祭音Myyura (co-authored with GPT 5.6 SOL)

以下の問に答えよ。

(1) $f(x)$ を $x$ の関数とする。以下の微分方程式の一般解を $x$ の関数 $P(x)$ の不定積分を用いて表せ。

f'(x)+P(x)f(x)=0.

(2) $z(x)$ を $x$ の関数とする。以下の微分方程式の一般解を求めよ。

z'(x)+z(x)=\frac14.

(3) $y(x)$ を $x$ の関数とする。以下の微分方程式の一般解を求めよ。

-2y'(x)+y(x)=\frac14y^3(x).

(1) 積分因子を掛けると $(e^{\int P(x)dx}f(x))'=0$ なので

\boxed{f(x)=C\exp\left(-\int P(x)dx\right)}.

(2) $(e^xz)'=e^x/4$ より $\boxed{z(x)=1/4+Ce^{-x}}$ 。

(3) $y\equiv0$ は解である。 $y\ne0$ の場合、 $z=y^{-2}$ とおくと

z'=-2y^{-3}y',\qquad z'+z=\frac14.

(2) より $y^{-2}=1/4+Ce^{-x}$ 。したがって実解は

\boxed{y\equiv0,\qquad y(x)=\pm\frac2{\sqrt{1+Ce^{-x}}}}

である。後者は $1+Ce^{-x}>0$ の区間で定義する。 $C=0$ で定数解 $y=\pm2$ を含む。