大阪大学 基礎工学研究科 電子光科学 (システム創成専攻) 2021年8月実施 電子光科学 [I-2]

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Author

Miyake

Description

Kai

(1)

$z$ が線分OB上にあるとすると、

$$\begin{aligned} z &= t e^{i \pi / 4} \\ z^2 &= t^2 e^{i \pi / 2} = i t^2 \\ f(z) &= e^{- i t^2} \end{aligned}$$

である。

(2)

求める積分を $I$ とすると、

$$\begin{aligned} I^2 &= \int_0^\infty e^{-x^2} dx \int_0^\infty e^{-y^2} dy \\ &= \int_0^{\pi/2} d \theta \int_0^\infty dr r e^{-r^2} \ \ \ \ \text{(2次元極座標)} \\ &= \frac{\pi}{2} \left[ - \frac{1}{2} e^{-r^2} \right]_0^\infty \\ &= \frac{\pi}{4} \\ \therefore \ \ I &= \frac{\sqrt{\pi}}{2} \end{aligned}$$

である。

(3)

まず、

$$\begin{aligned} C &= \int_0^\infty \cos (x^2) dx \\ S &= \int_0^\infty \sin (x^2) dx \end{aligned}$$

とおくと、(1) より、

$$\begin{aligned} \int_{\mathrm{BO}} f(z) dz &= \int_r^0 e^{- it^2} \frac{1+i}{\sqrt{2}} dt \\ &= - \frac{1}{\sqrt{2}} \int_0^r \left( \left( \cos (t^2) + \sin (t^2) \right) + i \left( \cos (t^2) - \sin (t^2) \right) \right) dt \\ &\xrightarrow{r \to \infty} - \frac{1}{\sqrt{2}} \left( (C+S) + i (C-S) \right) \end{aligned}$$

となる。

$f(z)$ は正則関数であるから、

$$\begin{aligned} \int_{\mathrm{OA}} f(z) dz + \int_{\mathrm{AB}} f(z) dz + \int_{\mathrm{BO}} f(z) dz = 0 \end{aligned}$$

が成り立つが、 $r \to \infty$ とすると、

$$\begin{aligned} \frac{\sqrt{\pi}}{2} + 0 - \frac{1}{\sqrt{2}} \left( (C+S) + i (C-S) \right) = 0 \end{aligned}$$

となり、

$$\begin{aligned} C = \frac{\sqrt{\pi}}{2 \sqrt{2}} \end{aligned}$$

を得る。