大阪大学基礎工学研究科電子光科学 (システム創成専攻) 2022年度電子光科学 [I-2]

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Miyake, 祭音Myyura

複素関数 $f(z)=e^{-z^2}$ を図の積分路 $O\to A\to B\to O$ で積分することを考える。円弧 $AB$ は半径 $r$ の $1/8$ 円周である。以下の問に答えよ。ただし、 $i$ は虚数単位とする。

偏角π/4の積分路

(1) 線分 $OB$ 上の点 $z$ の原点 $O$ からの距離を $t$ として、この線分上の点 $z$ に対する $f(z)$ を $t,i$ を用いて表せ。

(2) 積分 $\displaystyle\int_0^\infty e^{-x^2}dx$ を求めよ。

(3) 積分路 $O\to A\to B\to O$ で $f(z)$ の積分を実行し、 $r\to\infty$ とすることによって、

\int_0^\infty\cos(x^2)\,dx

を求めよ。ただし、 $\lim_{r\to\infty}\int_{AB}f(z)dz=0$ は証明せずに用いてもよい。

$z=te^{i\pi/4}$ より $z^2=it^2$ 。したがって $\boxed{f(z)=e^{-it^2}}$ 。

$I=\int_0^\infty e^{-x^2}dx>0$ とおく。極座標を用いると

I^2=\iint_{x,y\ge0}e^{-(x^2+y^2)}dxdy =\int_0^{\pi/2}d\theta\int_0^\infty re^{-r^2}dr=\frac\pi4.

よって $\boxed{I=\sqrt\pi/2}$ 。

$f$ は整関数なので閉路積分は $0$ 。 $BO$ 上で $z=te^{i\pi/4}$ とおき、 $r\to\infty$ とすると

0=\frac{\sqrt\pi}{2}-e^{i\pi/4}\int_0^\infty e^{-it^2}dt.

よって

\int_0^\infty e^{-it^2}dt=\frac{\sqrt\pi}{2}e^{-i\pi/4}.

実部を取れば $\boxed{\displaystyle\int_0^\infty\cos(x^2)dx=\sqrt{\frac\pi8}}$ 。